$\cos A = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\cos A = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

直角三角形を考えます。$\cos A$ は、直角三角形の斜辺に対する隣辺の比です。したがって、斜辺の長さを5、隣辺の長さを4と考えることができます。

まず、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ という三角関数の基本的な関係式を使います。

$\cos A = \frac{4}{5}$ を代入すると、

$\sin^2 A + (\frac{4}{5})^2 = 1$

$\sin^2 A + \frac{16}{25} = 1$

$\sin^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\sin A = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$

$0^\circ < A < 90^\circ$の範囲において考える場合、$\sin A > 0$ であるため、$\sin A = \frac{3}{5}$となります。

次に、$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$の関係を使います。

$\tan A = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin A = \frac{3}{5}$

$\tan A = \frac{3}{4}$