1. 問題の内容
三角形ABCにおいて、AD=DB、AE=EC、DF:FG=2:1のとき、線分BHの長さをxcm、線分HCの長さを20cmとして、xの値を求める問題です。
2. 解き方の手順
まず、AD=DB、AE=ECより、DEはBCに平行で、DE = (1/2)BCであることがわかります（中点連結定理）。
次に、DF:FG=2:1という比の情報を使います。DEとBCが平行なので、三角形ADFと三角形ABHは相似です。また、三角形AEGと三角形ACHも相似です。
DF:FG=2:1なので、DF:DG=2:3です。
また、DHとBCが平行なので、AD:AB = DF:BCとなります。AD=DBなので、AD:AB = 1:2 です。したがって、DF = (1/2)BC = (1/2) (x+20) となります。
DG = DF + FG なので、FG=(1/3)DF となります。
DG = DF + (1/3)DF = (4/3)DF です。
ここで、三角形ADFと三角形ABHの相似比から、AD:AB = DF:BC がわかります。
よって、1/2 = DF/(x+20)
同様に、三角形AEGと三角形ACHの相似比から、AE:AC = EG:CH がわかります。
AE=ECなので、AE:AC=1:2 です。また、EG = (1/3)BC です。
したがって、EG= (1/3)(x+20)となります。
1/2 = EG/20
EGを求める式と代入すると、
1/2 = (1/3)(x+20)/20
3(x+20) = 20
3x + 60 = 20
3x = -40
x = -40/3
これは明らかに矛盾します。問題文に誤りがあるか、図が正確ではありません。
DF:FG=2:1を使い、BH:HCの比を考えます。
DF : FG = 2 : 1
DE // BC より
DF : BH = AD : AB = 1 : 2
FG : HC = AE : AC = 1 : 2
これより、
BH = 2DF
HC = 2FG = 2 * (1/2) DF = DF
HC = 20cm なので、DF = 20
BH = 2DF = 2 * 20 = 40cm
よって、x = 40
3. 最終的な答え
x = 40