三角形ABCにおいて、AD=DB、AE=ECであり、DF:FC = 3:2 である。BG = 6cmのとき、DF = x cm の値を求める。
2025/5/6
1. 問題の内容
三角形ABCにおいて、AD=DB、AE=ECであり、DF:FC = 3:2 である。BG = 6cmのとき、DF = x cm の値を求める。
2. 解き方の手順
まず、AD = DB、AE = ECより、DEは三角形ABCの中点連結定理の線である。したがって、DEはBCと平行であり、DE = (1/2)BC である。
次に、DF:FC = 3:2 より、三角形ADFと三角形ABCは相似である。なぜなら、∠DAF = ∠BAC (共通)で、AD:AB=1:2かつAF:ACを求めることができるからである。AF:ACを計算するために、AF = AD+DF=3k、FC=2kとおくと、AC=AF+FC=5kとなる。つまり、AF:AC=3:5となる。
したがって、三角形ADFと三角形ABCの相似比は3/5:2 = 3:10となる。
しかし、DEとBCは平行であるから、三角形DFGと三角形CBGは相似である。その相似比は DF:BC = x:6。
DF:FC = 3:2 であることから、DC = DF + FC = 3 + 2 = 5 とすると、DF = (3/5)DC である。
三角形 ADF と三角形 ABC は相似なので、DF/BC=AD/AB となるから、DF/BC=AD/AB=3/10の関係を用いると誤り。
代わりに、DEはBCと平行であるから、三角形DFGと三角形CBGが相似であることを用いる。相似比はDF:BC = DG:GC = FG:BGである。よってDF:BC = FG:BG = x:6である。
三角形ADEと三角形ABCにおいて、DEがBCと平行だから、DE = 1/2 BC = 1/2 (6) = 3である。
DFGとCBGの相似より、DF/BC = FG/BG = x/6。
また、AFGとABCは相似とは言えない。なぜなら、AF:AC=5:10 = 1:2だからである。
FG/BG = DE/BCではない。
DFとBCが平行ならば、DFGとCBGは相似である。しかし、DFとBCは平行とは言えない。
DからBCへ垂線を下ろし、EからBCへ垂線を下ろすと、それぞれの垂線の長さは等しい。
メネラウスの定理を用いる。
三角形BCFにおいて、直線ADが交わるので、
(BD/DC) * (CA/AF) * (FG/GB) = 1
AD = DBなので、BD/AD = 1。また、AD = DB なので、AB=2AD、AC = 2AE。
DF/FC = 3/2。
よって、(DB/BA) * (AE/EC) *(CG/GD) = 1
(AD/AB) = 1/2、AE = EC なので、AE/EC = 1。
(1/2)*1*(CG/GD) = 1
CG/GD = 2
メネラウスの定理より
BF/FC * CA/AE * ED/DB = 1
(x+y)/2 * 5/3 = 1、ここから解けない
三角形DBGと三角形AFGでメネラウスの定理より
(DA/AB)*(BC/CG)*(GF/FD)=1
DF:FC = 3:2より、DF = 3k、FC = 2kとおくと、AC=5k
AD=DBなので、(1/2) * (6+2k)/CG * x/3k = 1
(6+2k)*x=6kCG
チェバの定理より
AD/DB * BE/EC * CF/FA = 1
CF/FA = 2/3
AD/DB = 1
BE/EC = 1
(2/3) * 1 = 1、これは成り立たない
DG/GC = x/6
また、DF/FC = 3/2 = x/GCとすると、GC=2/3x
するとDG/(2/3)x = x/6
DG/DG = x/9
AC/AF * FG/BG * BD/DC = 1
5/3 * x/6 * 1 = 1
5x/18=1
x = 18/5 = 3.6
3. 最終的な答え
x = 3.6 cm