円の中心Oから10cmの距離にある点Aから、その円に接線を引いたところ、接点Tまでの距離ATが8cmだった。このとき、円の半径を求めよ。

## (2) 円の半径を求める問題

1. 問題の内容

円の中心Oから10cmの距離にある点Aから、その円に接線を引いたところ、接点Tまでの距離ATが8cmだった。このとき、円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

* 円の接線の性質より、円の中心Oと接点Tを結ぶ線分OTは、接線ATと直交する。したがって、三角形OTAは直角三角形である。

* 直角三角形OTAにおいて、三平方の定理を用いると、次の式が成り立つ。

$OA^2 = OT^2 + AT^2$

* OA = 10cm、AT = 8cmであるから、OT（円の半径）をrとおくと、次の式になる。

$10^2 = r^2 + 8^2$

* この式を解いて、rを求める。

$100 = r^2 + 64$

$r^2 = 36$

$r = \pm 6$

* 半径は正の数なので、$r=6$

3. 最終的な答え

6 cm

## (3) 円錐の高さを求める問題

1. 問題の内容

底面の半径が3cm、母線の長さが4cmの円錐の高さはいくらか。

2. 解き方の手順

* 円錐の高さをh、底面の半径をr、母線の長さをlとする。

* 高さ、半径、母線は直角三角形を構成するため、三平方の定理が成り立つ。

$l^2 = h^2 + r^2$

* r = 3cm, l = 4cmなので、

$4^2 = h^2 + 3^2$

* この式を解いてhを求める。

$16 = h^2 + 9$

$h^2 = 7$

$h = \pm \sqrt{7}$

* 高さは正の数なので、$h = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{7}$ cm

## (4) 糸の長さを求める問題

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHの表面上に、点Aから辺BCを通って点Gまで糸をかける。糸が最も短くなるようにかけたとき、糸の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

* 直方体の展開図を考え、点Aと点Gを結ぶ直線を引く。この直線が最も短い糸の経路となる。

* 展開図において、AからGまでの直線は、長方形ABFEと長方形BCGFを合わせた長方形の対角線となる。

* 長方形の縦の長さは、AB + BF = 6cm + 4cm = 10cm

* 長方形の横の長さは、BC + CG = 5cm + 5cm = 5cm

* 長方形の対角線の長さは、三平方の定理で求めることができる。対角線の長さをxとすると、

$x^2 = 10^2 + 5^2$

$x^2 = 100 + 25$

$x^2 = 125$

$x = \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$5\sqrt{5}$ cm