ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}$ の両方に垂直で、大きさが $\sqrt{6}$ のベクトル $\vec{n}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}$ の両方に垂直で、大きさが $\sqrt{6}$ のベクトル $\vec{n}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めます。これは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算することで得られます。

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(-4) - (5)(-1) \\ (5)(2) - (1)(-4) \\ (1)(-1) - (3)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 + 5 \\ 10 + 4 \\ -1 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 14 \\ -7 \end{pmatrix}$$

次に、この外積ベクトルの大きさを計算します。

$$||\vec{a} \times \vec{b}|| = \sqrt{(-7)^2 + (14)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 196 + 49} = \sqrt{294} = 7\sqrt{6}$$

求めたいベクトル $\vec{n}$ は、大きさが $\sqrt{6}$ であり、$\vec{a} \times \vec{b}$ と平行なベクトルです。したがって、$\vec{a} \times \vec{b}$ をその大きさで割ることで、大きさが1のベクトルが得られます。

$$\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{||\vec{a} \times \vec{b}||} = \frac{1}{7\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -7 \\ 14 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{6} \end{pmatrix}$$

このベクトルの大きさを $\sqrt{6}$ にするために、$\sqrt{6}$ を掛けます。また、$\vec{n}$ は $\vec{a}$と$\vec{b}$に垂直なベクトルの正負両方の向きをとりうるので、$\pm$ をつけます。

$$\vec{n} = \pm \sqrt{6} \begin{pmatrix} -1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{6} \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$

したがって、求めるベクトルは $\vec{n} = \pm \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

$\vec{n} = \pm \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

よって、解答欄は以下のようになります。

1: -1

2: 2

3: -1

4: -1