与えられた図形に関する以下の小問に答えます。 (1) $DE \parallel BC$のとき、$DB$の長さを求めます。 (2) $M, N$がそれぞれ$AC, BC$の中点のとき、$\angle CMN$の角度と、$MN$の長さを求めます。 (3) 直線$l, m, n$が平行であるとき、$x$の値を求めます。 (4) $DE \parallel BC$のとき、$\triangle ADE$と四角形$DBCE$の面積の比を求めます。

1. 問題の内容

与えられた図形に関する以下の小問に答えます。

(1) $DE \parallel BC$のとき、$DB$の長さを求めます。

(2) $M, N$がそれぞれ$AC, BC$の中点のとき、$\angle CMN$の角度と、$MN$の長さを求めます。

(3) 直線$l, m, n$が平行であるとき、$x$の値を求めます。

(4) $DE \parallel BC$のとき、$\triangle ADE$と四角形$DBCE$の面積の比を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$より、$AD:AB = AE:AC$が成り立ちます。

$AD = AB - DB$なので、$8:(8+DB) = 10:(10+27)$となります。

$8:(8+DB) = 10:37$

$10(8+DB) = 8 \times 37$

$80 + 10DB = 296$

$10DB = 216$

$DB = 21.6$ cm

(2)

$M, N$がそれぞれ$AC, BC$の中点なので、$\triangle ABC$の中点連結定理より、$MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 18 = 9$ cm

$\angle CMN = \angle CAB = 35^\circ$

(3)

平行線と線分の比の関係より、

$\frac{3}{9} = \frac{x}{12}$

$9x = 3 \times 12$

$9x = 36$

$x = 4$

(4)

$AD:DB = 3:2$より、$AD:AB = 3:(3+2) = 3:5$

$\triangle ADE$と$\triangle ABC$の面積比は$(3:5)^2 = 9:25$

四角形$DBCE$の面積は$\triangle ABC$の面積 - $\triangle ADE$の面積なので、$25-9 = 16$

したがって、$\triangle ADE$と四角形$DBCE$の面積比は$9:16$

3. 最終的な答え

(1) $DB = 21.6$ cm

(2) $\angle CMN = 35^\circ$, $MN = 9$ cm

(3) $x = 4$

(4) $9:16$