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問題は2つのパートから構成されています。 [1] では、$\triangle ABC \sim \triangle EDF$ であることが与えられており、(1) $\triangle ABC$ と $\triangle EDF$ の相似比を求め、(2) $\angle E$ の大きさを求めます。 [2] では、$\angle ABC = \angle AED$ であることが与えられており、(1) $\triangle ABC$ と相似な三角形を求め、(2) (1)の相似を証明する際に使用する相似条件を求めます。

幾何学相似三角形相似比角度
2025/5/3

1. 問題の内容

問題は2つのパートから構成されています。
[1] では、△ABC∼△EDF\triangle ABC \sim \triangle EDF であることが与えられており、(1) △ABC\triangle ABC と △EDF\triangle EDF の相似比を求め、(2) ∠E\angle E の大きさを求めます。
[2] では、∠ABC=∠AED\angle ABC = \angle AED であることが与えられており、(1) △ABC\triangle ABC と相似な三角形を求め、(2) (1)の相似を証明する際に使用する相似条件を求めます。

2. 解き方の手順

[1]
(1) 相似比は、対応する辺の長さの比で求められます。ABAB に対応するのは EDED なので、相似比は 8:6=4:38:6 = 4:3 となります。
(2) △ABC\triangle ABC で、∠B=55∘\angle B = 55^\circ であり、△EDF\triangle EDF で、∠D=98∘\angle D = 98^\circ です。三角形の内角の和は 180∘180^\circ なので、∠A=180∘−∠B−∠C\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C であり、∠F=180∘−∠E−∠D\angle F = 180^\circ - \angle E - \angle D となります。また、△ABC∼△EDF\triangle ABC \sim \triangle EDF より、∠B=∠D\angle B = \angle D　と ∠C=∠F\angle C = \angle F　と ∠A=∠E\angle A = \angle Eが対応します。したがって、∠E=∠A=180∘−∠B−∠C\angle E = \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle Cです。ここで、∠F=180∘−∠E−∠D\angle F = 180^\circ - \angle E - \angle Dなので、∠C=∠F=180∘−∠E−98∘\angle C = \angle F = 180^\circ - \angle E - 98^\circです。∠A=180∘−55∘−∠C\angle A = 180^\circ - 55^\circ - \angle Cなので、∠E=180∘−55∘−∠C=180∘−55∘−(180∘−∠E−98∘)\angle E = 180^\circ - 55^\circ - \angle C = 180^\circ - 55^\circ - (180^\circ - \angle E - 98^\circ)となります。この式を整理すると∠E=180∘−55∘−180∘+∠E+98∘\angle E = 180^\circ - 55^\circ - 180^\circ + \angle E + 98^\circとなります。したがって、0=−55∘+98∘0 = - 55^\circ + 98^\circとなりますが、この式は成り立ちません。
△ABC∼△EDF\triangle ABC \sim \triangle EDF より、∠A=∠E\angle A = \angle E, ∠B=∠D\angle B = \angle D と ∠C=∠F\angle C = \angle Fが対応します。
∠B=55∘\angle B = 55^\circ であるので、∠D=55∘\angle D = 55^\circ となるはずですが、∠D=98∘\angle D = 98^\circ となっているので矛盾が生じます。問題文に誤りがあります。
しかし、仮に∠D=55∘\angle D = 55^\circ とすると、∠E=180∘−∠D−∠F=180∘−55∘−98∘=27∘\angle E = 180^\circ - \angle D - \angle F = 180^\circ - 55^\circ - 98^\circ = 27^\circとなります。
∠B=∠D=55∘\angle B = \angle D = 55^\circなので、∠E=∠A=180∘−55∘−∠C\angle E = \angle A = 180^\circ - 55^\circ - \angle Cとなります。∠F=∠C=98∘\angle F = \angle C = 98^\circなので、∠A=∠E=180∘−55∘−98∘=27∘\angle A = \angle E = 180^\circ - 55^\circ - 98^\circ = 27^\circとなります。
[2]
(1) △ABC\triangle ABC と △AED\triangle AED において、∠ABC=∠AED\angle ABC = \angle AED であり、∠A\angle A は共通なので、2角がそれぞれ等しいことより、△ABC∼△AED\triangle ABC \sim \triangle AED です。
(2) (1)の相似を証明する際に使用する三角形の相似条件は、「2角がそれぞれ等しい」です。

3. 最終的な答え

[1]
(1) ア:イ = 4:3
(2) ウエ = 27
[2]
(1) オカキ = AED
(2) ク = 2

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