平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をEとし、線分AEとBDの交点をFとする。このとき、線分AF:FEの比と、三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求める問題です。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をEとし、線分AEとBDの交点をFとする。このとき、線分AF:FEの比と、三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、AF:FEの比を求めます。

三角形ABFと三角形EDFに着目します。

ABとDEは平行なので、錯角が等しくなります。よって、$\angle ABF = \angle EDF$、$\angle BAF = \angle DEF$です。

したがって、三角形ABFと三角形EDFは相似です。

相似比は、AB:EDです。ここで、EはBCの中点なので、ED = BC/2です。また平行四辺形なのでAB=DC、したがってED = AB/2です。よって、相似比はAB:ED = AB:(AB/2) = 2:1となります。

したがって、AF:FE = 2:1です。

次に、三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求めます。

まず、平行四辺形ABCDの面積をSとすると、三角形ABDの面積はS/2です。

また、Oは対角線の交点なので、三角形ABOの面積は三角形ABDの面積の半分、つまりS/4です。

ここで、三角形AFOと三角形ABOについて考えます。これらの三角形は辺AOを共有しており、面積比は底辺の比に等しくなります。

三角形AFOの底辺をAF、三角形ABOの底辺をABと考えたとき、高さは共通です。

よって、三角形AFOと三角形ABOの面積比は、AF:ABとなります。

先程、AF:FE = 2:1であることを導きました。したがって、AE = AF + FE = 2FE + FE = 3FEです。よって、AF = (2/3)AEとなります。

ここで、三角形ABEに着目すると、その面積は平行四辺形ABCDの面積の1/4です。なぜならBE = ECなので、三角形ABE = 三角形AEC、三角形AECの面積は平行四辺形ABCDの面積の1/4となります。

三角形AFO:三角形ABO = AF:AE = 2:3、よって三角形AFO = (2/3)三角形ABOです。三角形ABO = S/4なので、三角形AFO = (2/3)(S/4) = S/6です。

三角形AFOの面積はS/6、平行四辺形ABCDの面積はSなので、面積比は(S/6):S = 1:6となります。

3. 最終的な答え

AF : FE = 2 : 1

△AFO : □ABCD = 1 : 6