四角形ABCDは平行四辺形であり、対角線の交点をO、辺BCの中点をEとする。線分AEとBDの交点をFとするとき、AF:FEと△AFO:平行四辺形ABCDの比を求める問題です。

1. 問題の内容

四角形ABCDは平行四辺形であり、対角線の交点をO、辺BCの中点をEとする。線分AEとBDの交点をFとするとき、AF:FEと△AFO:平行四辺形ABCDの比を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、AF:FEを求めます。

平行四辺形ABCDにおいて、Eは辺BCの中点なので、BE:EC = 1:1です。

また、平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、BO:OD = 1:1です。

△BEFと△DAFに着目すると、

∠EBF = ∠ADF（錯角）

∠BEF = ∠DAF（錯角）

より、△BEF∽△DAFです。

相似比はBE:AD = BE:BC = 1:2 なので、BF:FD = 1:2となります。

BD = BO + OD = 2BO より、BO = (1/2)BD。

BF = (1/3)BD であるため、FO = BO - BF = (1/2)BD - (1/3)BD = (1/6)BDとなります。

次に、△ABOと線分AEについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{BE}{EO} \cdot \frac{OF}{FA} \cdot \frac{AX}{XB} = 1$　

EはBCの中点なのでBE=ECとなりBO=ODで、Oは対角線の交点であるから、EOは計算しにくい。そこで、△ABDと線分AFに着目すると、先程求めたBF:FD=1:2より、

$\frac{AF}{FE} \cdot \frac{EC}{CB} \cdot \frac{BD}{DA} = 1$となる。

$\frac{AF}{FE} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{BD}{AD} = 1$

平行四辺形の対辺は等しいので、AD=BC.

よって$\frac{AF}{FE} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{AF}{FE}=\frac{3}{1}$

したがって、AF:FE = 3:1となります。

次に、△AFO:平行四辺形ABCDを求めます。

AF:AE = 3:4なので、△AFOと△AEOの面積比は、AF:AE = 3:4となります。

△AEOの面積は、△ABCの面積の(1/2) x (1/2) = 1/4倍です。なぜなら、底辺の長さが1/2で、高さが1/2だからです。

△ABCの面積は、平行四辺形ABCDの面積の(1/2)倍です。

よって、△AEOの面積は、平行四辺形ABCDの面積の(1/4)x(1/2)=1/8倍です。

△AFOの面積は、△AEOの面積の(3/4)倍なので、平行四辺形ABCDの面積の(3/4)x(1/8)=3/32倍です。

したがって、△AFO:平行四辺形ABCD = 3:32となります。

3. 最終的な答え

AF:FE = 3:1

△AFO:平行四辺形ABCD = 3:32