三角形ABCにおいて、$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$であり、$a^2 + b^2 = 2c^2$が成り立つ。 (1) $\cos C$を$a, b$を用いて表す。 (2) $a, b, c$が変化するとき、$\angle ACB$の取り得る最大の角度を求める。 (3) $\angle ACB$を(2)で求めた角度とする。三角形ABCの内接円の半径$r$が1であるとき、$a$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$であり、$a^2 + b^2 = 2c^2$が成り立つ。

(1) $\cos C$を$a, b$を用いて表す。

(2) $a, b, c$が変化するとき、$\angle ACB$の取り得る最大の角度を求める。

(3) $\angle ACB$を(2)で求めた角度とする。三角形ABCの内接円の半径$r$が1であるとき、$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$2c^2 = 2a^2 + 2b^2 - 4ab \cos C$

仮定より$a^2 + b^2 = 2c^2$なので、

$a^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2 - 4ab \cos C$

$4ab \cos C = a^2 + b^2$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2}{4ab}$

(2) $\cos C = \frac{a^2 + b^2}{4ab}$

相加相乗平均の不等式より、

$a^2 + b^2 \geq 2ab$

したがって、$\cos C \geq \frac{2ab}{4ab} = \frac{1}{2}$

$\cos C = \frac{1}{2}$のとき、$a = b$

このとき、$C \leq \frac{\pi}{3}$

$\cos C$が最小となるとき、$C$が最大になる。

$\cos C = \frac{a^2 + b^2}{4ab} = \frac{1}{2}$のとき、$a=b$より、

$a^2 + a^2 = 2c^2$

$2a^2 = 2c^2$

$a = c$

したがって、$a=b=c$となり、正三角形となる。

$\angle ACB = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

(3) $\angle ACB = 60^\circ$のとき、三角形ABCは正三角形なので、$a = b = c$。

内接円の半径$r$と面積$S$について、$S = \frac{1}{2} (a + b + c) r = \frac{3}{2} a r$

正三角形の面積は$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

したがって、$\frac{3}{2} a r = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

$r = 1$なので、$\frac{3}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

$6a = \sqrt{3} a^2$

$6 = \sqrt{3} a$

$a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos C = \frac{a^2 + b^2}{4ab}$

(2) $\angle ACB = 60^\circ$

(3) $a = 2\sqrt{3}$