三角形ABCにおいて、DE//BC、EF:FB = 2:3 である。線分GBの長さをxとするとき、xの値を求めよ。ただし、線分ADの長さは4.2cm、線分BCの長さは8.4cmである。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、DE//BC、EF:FB = 2:3 である。線分GBの長さをxとするとき、xの値を求めよ。ただし、線分ADの長さは4.2cm、線分BCの長さは8.4cmである。

2. 解き方の手順

まず、DE//BCより、三角形ADEと三角形ABCは相似である。

したがって、

$\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}$

次に、EF:FB = 2:3より、

$\frac{EF}{EB} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$

ここで、三角形EFGと三角形BCGも相似である。したがって、

$\frac{FG}{BG} = \frac{EF}{BC}$

AD = 4.2cm、BC = 8.4cmより、

$\frac{FG}{BG} = \frac{EF}{BC} = \frac{EF}{EB} \cdot \frac{EB}{BC} = \frac{2}{5} \cdot \frac{EB}{BC}$

また、三角形EBDと三角形ABCも相似である。

$\frac{EB}{AB} = \frac{ED}{AC} = \frac{BD}{BC}$

したがって

$AD/AC = \frac{4.2}{AC} = \frac{DE}{8.4}$

$EF:FB = 2:3$

$\triangle EFG \sim \triangle BCG$

$\frac{EF}{BC} = \frac{FG}{GC}$

$\frac{EF}{FB} = \frac{2}{3}$

$\frac{EF}{EB} = \frac{2}{5}$

$\frac{FG}{BG} = \frac{EF}{BC} = \frac{2}{5} \times \frac{AD}{AB}$

$\frac{FG}{BG} = \frac{2}{5}$

$x + 4.2 = CB/2$

$DE/BC = 2/5$

$\frac{x}{4.2} = \frac{BC-4.2}{BC}$

$4.2 = BC/2$

$DE:BC = FG:BG$

$\frac{FG}{x} = \frac{ED}{BC}$

$BC= x + CG = 4.2$

$\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{FB}$

$BG = x$, $CG = 8.4 - x$

三角形EFGと三角形BCGは相似なので、

$\frac{FG}{x} = \frac{EF}{BC}$

$\frac{EB}{5} = \frac{FB}{3}$

線分比を考えると、 $FG/GB = EF/BC$, $EF:FB=2:3$.

したがって、$FB=3y, EF=2y$とおける。

$BF/BE = 3/5$.

したがって、$4.2 = \frac{AC}{AD}$

三角形EFGと三角形BCGに着目すると、EF/BC = FG/GB. また、AD/AC = DE/BC = 2/5 と予想される。

$DE/BC \neq EF/BC$

3. 最終的な答え

x = 5.6