図において、$AE = EC$, $AF = FD$, $FG : GC = 7 : 6$であるとき、$x$の値を求めなさい。ただし、線分$CH$の長さは4.2cmである。

1. 問題の内容

図において、$AE = EC$, $AF = FD$, $FG : GC = 7 : 6$であるとき、$x$の値を求めなさい。ただし、線分$CH$の長さは4.2cmである。

2. 解き方の手順

まず、$FG : GC = 7 : 6$という比が与えられています。線分$FG$と線分$GC$の比が7対6であることから、$GC$の長さを求めることができます。線分$GH$の長さが4.2 cmであることから、$GC = x$とすると、$FG : GC = 7 : 6$より、$FG : x = 7 : 6$と書けます。

ここで、$CG : CH = x : 4.2$の関係もわかります。

$FG : GC = 7 : 6$より、

$6FG = 7GC$

$FG = \frac{7}{6}GC$

また、

$FC = FG + GC = \frac{7}{6}GC + GC = \frac{13}{6}GC$

次に、三角形$AFD$と三角形$ABC$について考えます。$AF = FD$より、$F$は$AD$の中点であり、$AE = EC$より、$E$は$AC$の中点です。したがって、線分$FE$は三角形$ADC$の中点連結定理により、$CD$の半分であり、$CD$に平行です。

したがって、三角形$AFE$と三角形$ADC$は相似であり、$FE$は$CD$の半分です。

$FE = \frac{1}{2}CD$

同様に考えると、$FE // CD$であることから、四角形$AEFD$は平行四辺形とみなせます。

したがって、$CD = 2FE$です。

$AE = EC$かつ$AF = FD$であるから、三角形$AEF$と三角形$ADC$は相似であり、相似比は$1:2$です。

したがって、$EF // DC$であり、$EF = \frac{1}{2}DC$です。

$FE // DC$なので、三角形$CFG$と三角形$CDG$は相似です。

$FG:GC = 7:6$なので、$GC = x$とすると、$CH = 4.2$より、

$\frac{GC}{FC} = \frac{6}{13}$

三角形$CGH$の高さは4.2cmなので、$CG: FC = 6 : 13$の比を使って$x$を求めます。

三角形$CDG$における$DG$と、三角形$CFG$における$FG$を考えた場合、線分$FG$と線分$GC$の比が7対6なので、

$CG : CF = 6 : (7+6) = 6:13$

したがって、$CG : CF = x : (x+FG) = x : \frac{13}{6}x = 6:13$

また、$CG : CH$を考えると、$CH=4.2$であり、三角形$CGH$は直角三角形に見えるので、$x$を求めることができます。

ここで、三角形$CDG$と三角形$CEG$と三角形$CFG$の位置関係を考えると、$GC:CH$の値は、三角形$CDG$と三角形$CEG$と三角形$CFG$の相似比に影響を与えるため、$FG:GC = 7:6$を使い、$GC$の長さを求めます。

$FG/GC = 7/6$なので、$GC = x$とすると、$CG:CH = x : 4.2$です。

三角形$CFG$と三角形$CDG$は相似なので、$CG/CD=FG/DG$

三角形$CFG$において、$FG:GC = 7:6$なので、

$GC = x$とおくと、$FG = \frac{7}{6}x$です。

したがって、$FC = FG + GC = \frac{7}{6}x + x = \frac{13}{6}x$です。

$GC = x$なので、

$\frac{x}{4.2} = \frac{6}{7}$

$x = 4.2 * \frac{6}{7} = 0.6 * 6 = 3.6$

3. 最終的な答え

3. 6