三角形ABCがあり、辺ABの中点をE、辺ACの中点をFとする。線分BC上に点Hがあり、線分EFと線分BGの交点をGとする。FG:GB = 7:6である。線分BHの長さをx、線分HCの長さを7cmとする時、xの値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺ABの中点をE、辺ACの中点をFとする。線分BC上に点Hがあり、線分EFと線分BGの交点をGとする。FG:GB = 7:6である。線分BHの長さをx、線分HCの長さを7cmとする時、xの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、中点連結定理より、EF//BCである。

したがって、三角形EFGと三角形BCGは相似である。

相似比はFG:GB = 7:6なので、EF:BC = 7:6である。

また、中点連結定理より、EF = (1/2)BCである。

したがって、BC = 2EFである。

EF:BC = 7:6より、EF : 2EF = 7:6となり、7 : 2*7 = 7:14 = 1:2の関係が成り立つ。これはEF:BC = 1:2を示している。

しかし、問題文ではFG:GB = 7:6が与えられているため、EF:BCも7:6になるはずである。

もしEF:BC = 7:13であれば、FG:GB = 7:6と整合性がとれる。

BC = BH + HC = x + 7である。

EF = (7/13) * (x+7) / 2

EF:BC = 7:13だから、

(1/2)BC:BC = 7:13はあり得ない。

しかし、仮に問題文通りに解くと、相似比がFG:GB = 7:6なので、EF : BC = FG : BG = 7/13となる。

中点連結定理より、EF = (1/2)BCなので、(1/2)BC : BC = 7/13。

1/2 = 7/13にはならないので、矛盾が発生する。

解答を導くためには図形が正しくないか、情報が間違っている可能性が高い。

しかし、問題文から解くことを優先すると以下のように考えられる。

BH = x、HC = 7なので、BC = x + 7である。

EF:BC = 7:6より、EF = (7/6) * (x+7)である。

中点連結定理より、EF = (1/2)BCなので、

(1/2)(x+7) = (7/6)(x+7)が成り立つ必要がある。

しかし、(1/2)と(7/6)は異なるので、この式はx+7=0の時のみ成立する。

この場合、x=-7となるが、長さが負になるのは不適切である。

三角形EFGと三角形BCGの相似比がFG:BG = 7:13であると考える。

EF/BC = 7/13

EF = 1/2 BC

1/2 BC / BC = 7/13

1/2 = 7/13

これはありえない。

問題文に誤りがある可能性があるが、図形の相似を利用する。

FG:GB = 7:6より、BH:HC=6:7なのではないかと考える。

BH:HC=x:7=6:7

7x=42

x=6

3. 最終的な答え

x = 6