一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OBを2:1に内分する点をD、辺OCの中点をE、辺BCの中点をFとする。線分DEと線分OFの交点をGとするとき、線分OGの長さと線分AGの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OBを2:1に内分する点をD、辺OCの中点をE、辺BCの中点をFとする。線分DEと線分OFの交点をGとするとき、線分OGの長さと線分AGの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分OGの長さを求める。

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とする。

$\vec{OG} = k \vec{OF}$ (kは実数)とする。

$\vec{OF} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

よって、

$\vec{OG} = k (\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}) = \frac{k}{2} \vec{b} + \frac{k}{2} \vec{c}$ ...①

また、DG : GE = l : (1-l)とすると、

$\vec{OG} = (1-l)\vec{OD} + l\vec{OE}$

$\vec{OD} = \frac{2}{3}\vec{OB} = \frac{2}{3}\vec{b}$

$\vec{OE} = \frac{1}{2}\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{c}$

よって、

$\vec{OG} = (1-l)\frac{2}{3}\vec{b} + l\frac{1}{2}\vec{c} = \frac{2}{3}(1-l)\vec{b} + \frac{l}{2}\vec{c}$ ...②

$\vec{b} \neq \vec{0}$, $\vec{c} \neq \vec{0}$で、$\vec{b}$と$\vec{c}$は平行ではないから、$\vec{OG}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表した方法はただ1通りである。

よって、①、②より

$\frac{k}{2} = \frac{2}{3}(1-l)$, $\frac{k}{2} = \frac{l}{2}$

これを解いて、 $l = \frac{4}{7}$, $k = \frac{4}{7}$

よって、$\vec{OG} = \frac{4}{7}\vec{OF}$だから、

$OG = \frac{4}{7}OF$

$OF = \frac{\sqrt{2}}{2}$ より、

$OG = \frac{4}{7} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{7}$

(2) 線分AGの長さを求める。

$|\vec{AG}|^2 = |\vec{OG} - \vec{OA}|^2$

$|\vec{OG} - \vec{OA}|^2 = |\frac{4}{7} \cdot \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a}|^2$

$= |\frac{2}{7}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{c} - \vec{a}|^2$

$= (\frac{2}{7})^2|\vec{b}|^2 + (\frac{2}{7})^2|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 + 2(\frac{2}{7})(\frac{2}{7})\vec{b} \cdot \vec{c} + 2(\frac{2}{7})(-1)\vec{b} \cdot \vec{a} + 2(\frac{2}{7})(-1)\vec{c} \cdot \vec{a}$

$= \frac{4}{49}(1) + \frac{4}{49}(1) + 1 + \frac{8}{49} \times \frac{1}{2} - \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} - \frac{4}{7} \times \frac{1}{2}$

$= \frac{4}{49} + \frac{4}{49} + 1 + \frac{4}{49} - \frac{2}{7} - \frac{2}{7}$

$= \frac{12}{49} + 1 - \frac{4}{7} = \frac{12}{49} + \frac{49}{49} - \frac{28}{49} = \frac{33}{49}$

$|\vec{AG}| = \sqrt{\frac{33}{49}} = \frac{\sqrt{33}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 線分OGの長さ: $\frac{2\sqrt{2}}{7}$

(2) 線分AGの長さ: $\frac{\sqrt{33}}{7}$