円 $x^2 + y^2 = 1$ と次の3つの直線について、それぞれの共有点の個数を求めます。 (1) $x + y = 1$ (2) $x - y = \sqrt{2}$ (3) $2x - y + 5 = 0$

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と次の3つの直線について、それぞれの共有点の個数を求めます。

(1) $x + y = 1$

(2) $x - y = \sqrt{2}$

(3) $2x - y + 5 = 0$

2. 解き方の手順

円と直線の共有点の個数を求めるには、円の中心と直線との距離 $d$ を計算し、円の半径 $r$ と比較します。

- $d < r$ ならば、共有点は2個

- $d = r$ ならば、共有点は1個

- $d > r$ ならば、共有点は0個

円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は $(0, 0)$ であり、半径は $r = 1$ です。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ との距離 $d$ は次の式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

(1) 直線 $x + y = 1$、つまり $x + y - 1 = 0$ と点 $(0, 0)$ の距離 $d_1$ は、

$d_1 = \frac{|1\cdot 0 + 1\cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$d_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1 = r$ なので、共有点は2個です。

(2) 直線 $x - y = \sqrt{2}$、つまり $x - y - \sqrt{2} = 0$ と点 $(0, 0)$ の距離 $d_2$ は、

$d_2 = \frac{|1\cdot 0 - 1\cdot 0 - \sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

$d_2 = 1 = r$ なので、共有点は1個です。

(3) 直線 $2x - y + 5 = 0$ と点 $(0, 0)$ の距離 $d_3$ は、

$d_3 = \frac{|2\cdot 0 - 1\cdot 0 + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$d_3 = \sqrt{5} > 1 = r$ なので、共有点は0個です。

3. 最終的な答え

(1) 2個

(2) 1個

(3) 0個