立方体の6つの面を、赤、青、黄、白、緑、黒の6色で塗り分ける。ただし、回転してすべての面の色の並びが同じになれば、同じ塗り方とみなす。 (1) 塗り方の総数を求める。 (2) 側面が残り4色の円順列になる理由を説明する。 ただし、以下の手順で考える。 [1] 赤色の面は、下に固定する。 [2] 上の面は、残り5色のどれかになる。 [3] 側面は、残り4色の円順列になる。

1. 問題の内容

立方体の6つの面を、赤、青、黄、白、緑、黒の6色で塗り分ける。ただし、回転してすべての面の色の並びが同じになれば、同じ塗り方とみなす。

(1) 塗り方の総数を求める。

(2) 側面が残り4色の円順列になる理由を説明する。

ただし、以下の手順で考える。

[1] 赤色の面は、下に固定する。

[2] 上の面は、残り5色のどれかになる。

[3] 側面は、残り4色の円順列になる。

2. 解き方の手順

(1) 塗り方の総数を求める。

[1] 赤色の面を下にして固定する。このとき、立方体の回転を考慮する必要がなくなる。

[2] 上の面は、残りの5色（青、黄、白、緑、黒）のいずれかになる。選び方は5通り。

[3] 側面は、残りの4色で円順列となる。円順列の総数は $(n-1)!$ で計算できる。

したがって、4色の円順列は $(4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

塗り方の総数は、上の面の選び方と側面の塗り方の組み合わせの積で求められる。

塗り方の総数 = $5 \times 6 = 30$ 通り。

(2) 側面が残り4色の円順列になる理由を説明する。

下の面を赤色で固定すると、立方体を上下方向に回転させても同じ塗り方とみなされる。

これは、上から見たときに、側面の色の並びが時計回りまたは反時計回りで同じであれば、回転によって一致させることができるためである。

したがって、側面の4色の並び方は、円順列として考える必要がある。

円順列では、ある1つの要素を固定して残りの要素を並べることで、回転による重複を避ける。

3. 最終的な答え

(1) 塗り方の総数：30通り

(2) 側面が残り4色の円順列になる理由：

立方体の下の面を赤色で固定したとき、立方体を上下方向に回転させても同じ塗り方とみなされる。そのため、側面の色の並び方は、円順列として考える必要がある。円順列では、回転によって一致するものを同一視するため、ある1つの要素を固定して残りの要素を並べる。