複素数平面上に原点O、点Aを$1+\sqrt{3}i$とする。点$z$を直線OAに関して対称移動した点を$w$とするとき、$w$を$z$を用いて表す。

1. 問題の内容

複素数平面上に原点O、点Aを$1+\sqrt{3}i$とする。点$z$を直線OAに関して対称移動した点を$w$とするとき、$w$を$z$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Aを表す複素数$1+\sqrt{3}i$を極形式で表すと、

$1 + \sqrt{3} i = 2(\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}})$

となる。

したがって、線分OAと実軸のなす角は$\frac{\pi}{3}$である。

点zを直線OAに関して対称移動した点をwとすると、$\frac{w}{z}$の偏角は、直線OAとなす角が等しいので、$\arg(w) - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \arg(z)$となる。

したがって、$\arg(w) + \arg(z) = \frac{2\pi}{3}$となる。

また、 $|w| = |z|$ である。

したがって、$\frac{w}{z}$は絶対値が1で、偏角が$\frac{2\pi}{3} - 2\arg(z)$の複素数となる。

$w = z e^{i(\frac{2\pi}{3} - 2\arg(z))} = z(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}))$

ここで、$\bar{z}$ は、$z$ を実軸に対して対称移動した点を表す。

したがって、$\frac{w}{z}$の偏角は$\frac{2\pi}{3}$で、絶対値は1である。

$\frac{w}{\bar{z}}$の偏角は$\frac{2\pi}{3} - 2\arg(z)$である。

点$z$を原点を中心に$-\frac{\pi}{3}$回転させると、複素数$\alpha = z e^{-i\frac{\pi}{3}}$で表される点に移る。

この点を実軸に関して対称移動すると、複素数$\bar{\alpha} = \bar{z} e^{i\frac{\pi}{3}}$で表される点に移る。

この点を原点を中心に$\frac{\pi}{3}$回転させると、複素数$\bar{z} e^{i\frac{\pi}{3}}e^{i\frac{\pi}{3}} = \bar{z} e^{i\frac{2\pi}{3}}$で表される点に移る。

これが点$w$である。

$w = \bar{z} e^{i\frac{2\pi}{3}}$

$e^{i\frac{2\pi}{3}} = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$w = (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})\bar{z}$

3. 最終的な答え

$w = (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)\bar{z}$