直交座標に関する方程式 $\sqrt{3}x - y = 4$ で表された図形の極方程式を求める。

1. 問題の内容

直交座標に関する方程式 $\sqrt{3}x - y = 4$ で表された図形の極方程式を求める。

2. 解き方の手順

直交座標 $(x, y)$ と極座標 $(r, \theta)$ の関係は以下の通りです。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

与えられた直交座標の方程式 $\sqrt{3}x - y = 4$ に上記の変換式を代入します。

$\sqrt{3}(r\cos\theta) - (r\sin\theta) = 4$

$r$ でくくります。

$r(\sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta) = 4$

三角関数の合成を行います。$\sqrt{3} = 2\cos(\pi/6)$、$-1 = 2\sin(7\pi/6)= -2\sin(\pi/6)$なので，

$\sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac{1}{2}\sin\theta) = 2(\cos(\pi/6)\cos\theta - \sin(\pi/6)\sin\theta)$

加法定理$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$より，

$\sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta = 2\cos(\theta + \frac{\pi}{6})$

したがって、$r(2\cos(\theta + \frac{\pi}{6})) = 4$ となります。

両辺を2で割ると，$r\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$r\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) = 2$