$xy$ 平面内の円 $C: x^2+y^2=4$ と点 $P(1, 0)$ を考える。半径 $2$ の円 $C'$ が $P$ を通りながら動くとき、$C$ と $C'$ が共有する弦の存在範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$ 平面内の円 $C: x^2+y^2=4$ と点 $P(1, 0)$ を考える。半径 $2$ の円 $C'$ が $P$ を通りながら動くとき、$C$ と $C'$ が共有する弦の存在範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

円 $C$ の中心を原点 $O(0, 0)$ とする。円 $C'$ の中心を $(a, b)$ とする。円 $C'$ の方程式は、

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = 4$

と表せる。円 $C'$ は点 $P(1, 0)$ を通るので、

$(1-a)^2 + (0-b)^2 = 4$

$(1-a)^2 + b^2 = 4$

$1 - 2a + a^2 + b^2 = 4$

$a^2 + b^2 = 2a + 3$

となる。

次に、$C$ と $C'$ が共有する弦の中点を $(x, y)$ とする。弦の中点 $(x, y)$ は、$C$ と $C'$ の中心を結ぶ線分に垂直な直線上にある。$C$ と $C'$ が共有する弦は、2つの円の中心を結ぶ線分に垂直である。弦の中点は、中心を結ぶ線分上に正射影される。

$C$ の中心 $O(0, 0)$ から $(x, y)$ へのベクトルを $\vec{p}$、 $C'$ の中心 $(a, b)$ から $(x, y)$ へのベクトルを $\vec{q}$ とすると、

$\vec{p} = (x, y)$

$\vec{q} = (x-a, y-b)$

$|\vec{p}|^2 = x^2 + y^2 < 4$

$|\vec{q}|^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 < 4$

$x^2 + y^2 = r^2$ ($r$ は $C$ の半径)

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = s^2$ ($s$ は $C'$ の半径)

円 $C$ の中心 $(0, 0)$ から弦の中点 $(x, y)$ までの距離の2乗は $x^2 + y^2$ である。

$OP = \sqrt{x^2 + y^2}$

$PC' = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}$

ここで、$a = x + \frac{x}{2}, b = y + \frac{y}{2}$ として、$a = \frac{3}{2} x, b = \frac{3}{2} y$ とすると、

$(\frac{3}{2}x)^2 + (\frac{3}{2}y)^2 = 2(\frac{3}{2}x) + 3$

$\frac{9}{4}(x^2 + y^2) = 3x + 3$

$x^2 + y^2 = \frac{4}{9}(3x + 3)$

$x^2 + y^2 = \frac{4}{3}x + \frac{4}{3}$

$(x - \frac{2}{3})^2 + y^2 = \frac{4}{9} + \frac{4}{3} = \frac{16}{9}$

また、$C$ と $C'$ の交点を通る直線の方程式は

$x^2+y^2-4 - ((x-a)^2 + (y-b)^2 - 4) = 0$

$x^2+y^2-4 - (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 - 4) = 0$

$2ax + 2by - a^2 - b^2 = 0$

$ax + by = \frac{a^2 + b^2}{2}$

ここで、$x$ と $y$ を $a$ と $b$ で表すと、$a^2 + b^2 = 2a + 3$ より、

$ax + by = \frac{2a+3}{2}$

点 $(x, y)$ と円の中心 $(0, 0)$ との距離が $2$ 以下である必要がある。

$x^2 + y^2 \le 4$

$a^2 + b^2 = 2a+3$ より、 $(a-1)^2+b^2 = 4$. よって$(a, b)$ は $(1, 0)$ を中心とする半径$2$の円周上にある。

$a = 1 + 2\cos\theta$, $b = 2\sin\theta$.

よって, $ax+by = (1+2\cos\theta)x + 2\sin\theta y = \frac{2a+3}{2} = \frac{2(1+2\cos\theta)+3}{2} = \frac{5+4\cos\theta}{2}$.

$(1+2\cos\theta)x + 2\sin\theta y = \frac{5+4\cos\theta}{2}$.

$2x + 4x\cos\theta + 4y\sin\theta = 5 + 4\cos\theta$.

$(4x-4)\cos\theta + 4y\sin\theta = 5-2x$.

3. 最終的な答え

$(x - \frac{2}{3})^2 + y^2 \le (\frac{4}{3})^2$

$(x - \frac{2}{3})^2 + y^2 \le \frac{16}{9}$