問題は、図1に示す立体（底面の半径が12cm、高さが5cmの円柱を底面に垂直な平面で4等分したもの）について、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) 点Pが線分DE上をDからEまで動くとき、線分OPが動いたあとにできる面の面積を求める。 (2) 図2に示すように、この立体を3点O, D, Eを通る平面で切って2つに分けるとき、頂点Aを含む立体の体積を求める。

1. 問題の内容

問題は、図1に示す立体（底面の半径が12cm、高さが5cmの円柱を底面に垂直な平面で4等分したもの）について、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) 点Pが線分DE上をDからEまで動くとき、線分OPが動いたあとにできる面の面積を求める。

(2) 図2に示すように、この立体を3点O, D, Eを通る平面で切って2つに分けるとき、頂点Aを含む立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点PがDE上を動くとき、OPが動いた後にできる面は、長方形になります。長方形の面積は、縦 × 横 で求められます。この長方形の縦は円柱の高さ(5cm)であり、横は弧DEの長さです。

弧DEは、円周の1/4なので、弧DEの長さは、

$2 \pi r \times \frac{1}{4} = 2 \pi \times 12 \times \frac{1}{4} = 6\pi$ cm です。

したがって、求める面積は $5 \times 6\pi = 30\pi$ cm$^2$です。

(2) 立体を平面ODEで切断したとき、頂点Aを含む立体の体積は、立体OADEの体積です。

立体OADEは、円柱を4等分した立体の底面をさらに半分にしたものと考えることができます。

まず、円柱を4等分した立体の体積を求めます。

底面積は、$\pi r^2 \times \frac{1}{4} = \pi \times 12^2 \times \frac{1}{4} = 36\pi$ cm$^2$

体積は、$36\pi \times 5 = 180\pi$ cm$^3$

立体OADEの体積は、この1/2なので、

$180\pi \times \frac{1}{2} = 90\pi$ cm$^3$

3. 最終的な答え

(1) $30\pi$ cm$^2$

(2) $90\pi$ cm$^3$