円錐の展開図において、側面のおうぎ形の半径が12cm、中心角に対応する弧の長さが底面の円周に等しいとき、底面の円の半径 $x$ cmを求める問題です。底面の円の半径は9cmと書かれていないことに注意してください。円錐の中心からの高さが9cmです。

1. 問題の内容

円錐の展開図において、側面のおうぎ形の半径が12cm、中心角に対応する弧の長さが底面の円周に等しいとき、底面の円の半径 $x$ cmを求める問題です。底面の円の半径は9cmと書かれていないことに注意してください。円錐の中心からの高さが9cmです。

2. 解き方の手順

まず、円錐の側面の扇形の弧の長さを求めます。扇形の半径は12cmなので、中心角を $\theta$ とすると、弧の長さは $12\theta$ と表せます。

次に、底面の円の円周を求めます。底面の円の半径は $x$ cmなので、円周は $2\pi x$ と表せます。

扇形の弧の長さと底面の円周は等しいので、$12\theta = 2\pi x$が成り立ちます。

ここで、扇形の弧の長さは、扇形の半径と中心角の積で求められます。

扇形の半径は12cmです。

扇形全体の円周に対する割合は、底面の円周を扇形の半径を半径とする円の円周で割ったものに等しくなります。

つまり、

$\frac{2\pi x}{2\pi \times 12} = \frac{x}{12}$

よって、

$\theta = 2\pi \times \frac{x}{12}$ となります。

これを $12\theta = 2\pi x$に代入して整理すると、

$12 \times \frac{2\pi x}{2\pi \times 12} = 2\pi \times \frac{x}{12} \times 12 = 2 \pi x$

という自明な式が得られます。

問題文から円錐の高さが9cmと与えられているので、底面の半径を求めるために三平方の定理を用いることを考えます。

円錐の高さ、底面の半径、母線（扇形の半径）は直角三角形を形成します。

この場合、母線が斜辺、高さと底面の半径が他の二辺となります。したがって、

$12^2 = 9^2 + x^2$

$144 = 81 + x^2$

$x^2 = 144 - 81 = 63$

$x = \sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{7}$ cm