ベクトル $\vec{a} = (12, -5)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{p}$ を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (12, -5)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{p}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}=(a_1, a_2)$ に垂直なベクトルは、$(ka_2, -ka_1)$ または $(-ka_2, ka_1)$ (kは任意の実数)と表せる。

ここでは、$\vec{a} = (12, -5)$なので、垂直なベクトルの一つは $(5, 12)$ となる。

このベクトルを単位ベクトルにする必要がある。

ベクトルの大きさは、$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ である。

したがって、単位ベクトルは $(\frac{5}{13}, \frac{12}{13})$ となる。

また、ベクトル $(-5, -12)$ も $\vec{a}$ に垂直であり、その大きさは $\sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = 13$ となる。

したがって、もう一つの単位ベクトルは $(-\frac{5}{13}, -\frac{12}{13})$ となる。

3. 最終的な答え

$\vec{p} = (\frac{5}{13}, \frac{12}{13}), (-\frac{5}{13}, -\frac{12}{13})$