複素数平面上に3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)があり、$\alpha = 1 + i$, $\beta = 5 + 3i$である。これらの点を頂点とする正三角形ABCを作るとき、複素数$\gamma$を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)があり、$\alpha = 1 + i$, $\beta = 5 + 3i$である。これらの点を頂点とする正三角形ABCを作るとき、複素数$\gamma$を求めよ。

2. 解き方の手順

正三角形ABCにおいて、点Aを点Bを中心に$\pm \frac{\pi}{3}$だけ回転させると点Cになる。

$\gamma - \beta = (\alpha - \beta) (\cos(\pm \frac{\pi}{3}) + i \sin(\pm \frac{\pi}{3}))$

$\gamma = \beta + (\alpha - \beta) (\cos(\pm \frac{\pi}{3}) + i \sin(\pm \frac{\pi}{3}))$

$\alpha - \beta = (1 + i) - (5 + 3i) = -4 - 2i$

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}, \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}, \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\gamma_1 = (5 + 3i) + (-4 - 2i)(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 5 + 3i + (-2 - i\sqrt{3} - 2i + \sqrt{3}) = 5 + 3i - 2 + \sqrt{3} - i(\sqrt{3} + 2) = 3 + \sqrt{3} + i(1 - \sqrt{3})$

$\gamma_2 = (5 + 3i) + (-4 - 2i)(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 5 + 3i + (-2 + i\sqrt{3} - 2i - \sqrt{3}) = 5 + 3i - 2 - \sqrt{3} + i(\sqrt{3} - 2) = 3 - \sqrt{3} + i(1 + \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$\gamma = 3 + \sqrt{3} + (1 - \sqrt{3})i$

または

$\gamma = 3 - \sqrt{3} + (1 + \sqrt{3})i$