ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ と $\vec{b} = (-\sqrt{3}, x)$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $\vec{a} + \vec{b}$ が $\vec{a}$ と垂直になるような $x$ の値を求めます。 (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $120^\circ$ となるような $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ と $\vec{b} = (-\sqrt{3}, x)$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $\vec{a} + \vec{b}$ が $\vec{a}$ と垂直になるような $x$ の値を求めます。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $120^\circ$ となるような $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} + \vec{b}$ が $\vec{a}$ と垂直であるとき、$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$ が成り立ちます。

まず、$\vec{a} + \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} + \vec{b} = (\sqrt{3}, 1) + (-\sqrt{3}, x) = (0, 1+x)$

次に、内積 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a}$ を計算します。

$(0, 1+x) \cdot (\sqrt{3}, 1) = 0 \cdot \sqrt{3} + (1+x) \cdot 1 = 1+x$

したがって、$1+x = 0$ より、$x = -1$ となります。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $120^\circ$ であるとき、

$\cos 120^\circ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ が成り立ちます。

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ です。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{3}, 1) \cdot (-\sqrt{3}, x) = \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) + 1 \cdot x = -3 + x$

$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + x^2} = \sqrt{3 + x^2}$

よって、

$-\frac{1}{2} = \frac{-3 + x}{2\sqrt{3 + x^2}}$

両辺に $2$ をかけると、

$-\frac{1}{2} \times 2 = \frac{-3 + x}{2\sqrt{3 + x^2}} \times 2$

$-1 = \frac{-3 + x}{\sqrt{3 + x^2}}$

$\sqrt{3 + x^2} = 3 - x$

両辺を2乗すると、

$3 + x^2 = (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$

$3 + x^2 = 9 - 6x + x^2$

$6x = 6$

$x = 1$

3. 最終的な答え

(1) $x = -1$

(2) $x = 1$