図1のような立体があり、これは底面の半径が12cm、高さが5cmの円柱を、底面の中心Oを通り、底面に垂直な平面で4等分したものである。ODの長さは13cmである。 (1) 点PがDE上をDからEまで動くとき、線分OPが動いたあとにできる面の面積を求めなさい。 (2) 図2のように、この立体を、3点O, D, Eを通る平面で切って2つに分けるとき、頂点Aを含む立体の体積を求めなさい。

1. 問題の内容

図1のような立体があり、これは底面の半径が12cm、高さが5cmの円柱を、底面の中心Oを通り、底面に垂直な平面で4等分したものである。ODの長さは13cmである。

(1) 点PがDE上をDからEまで動くとき、線分OPが動いたあとにできる面の面積を求めなさい。

(2) 図2のように、この立体を、3点O, D, Eを通る平面で切って2つに分けるとき、頂点Aを含む立体の体積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

点PがDE上を動くとき、線分OPが動いてできる面は扇形ODEである。扇形ODEの中心角は90度であり、半径はOD = OE = 13cmである。したがって、扇形ODEの面積は

$S = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (13^2) = \frac{169}{4}\pi$

しかし問題文をよく読むと、「線分OPが動いた後にできる面」とある。この面は、扇形ODEから三角形ODEを除いた部分と考えるべきである。

扇形ODEの面積は$\frac{1}{4} \pi \times 12^2 = 36\pi$である。

三角形ODEは、直角二等辺三角形で、OD = OE = 12cmなので、面積は$\frac{1}{2} \times 12 \times 12 = 72$である。

したがって、線分OPが動いたあとにできる面の面積は、$36\pi$ではない。

線分OPが動く面は扇形ODEです。OD = OE = 12 cm、扇形の中心角は90°です。従って、扇形の面積は、

$\frac{90}{360} \times \pi \times 12^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times 144 = 36 \pi$ (cm$^2$)

(2)

図2で、立体をO, D, Eを通る平面で切ったとき、頂点Aを含む立体の体積を求める。

もとの立体は、円柱の1/4である。円柱の体積は$\pi r^2 h$で、ここでは$r=12, h=5$である。

なので、円柱の体積は$\pi (12^2)(5) = 720\pi$。その1/4の体積は$180\pi$。

O, D, Eを通る平面で切ったとき、できる立体のうち、頂点Aを含むものは、三角錐に似た形状をしている。

まず、全体の体積（円柱の1/4）から、三角錐ODE（底面ODE, 高さ5cm）の体積を引く。

三角錐ODEの体積は、底面が$\frac{1}{2} \times 12 \times 12 = 72$、高さが5なので、$\frac{1}{3} \times 72 \times 5 = 120$である。

すると、$180\pi - 120$となる。

しかし、これは違う。

O-ADEの体積は、底面を扇形ADEと考えると、扇形の面積は$\frac{1}{4} \pi (12^2) = 36\pi$で、高さは5cmなので、体積は

$\frac{1}{3} \times 36\pi \times 5 = 60\pi$となる。これは違う。

底面が三角形ODEで、高さが5の三角柱の体積は$72 \times 5 = 360$

体積を求める立体は、三角柱から三角錐を引いたものとなる。その三角錐の体積は(12 x 12 / 2) * 5/3 = 120

従って、求める立体の体積は、4等分された円柱の体積から、O-CDEの体積を引いたものになる。

O-CDEは、底面CDEが直角三角形で面積が、$\frac{1}{2} * 12 * 5 = 30$で、高さが12なので体積は$30 * 12 / 3 = 120$。

したがって、$180\pi - 120$。これは違う。

Aを含む立体の体積は、$360 - 120 = 240$

3. 最終的な答え

(1) $36\pi$ cm$^2$

(2) $240$ cm$^3$