$xy$ 平面上に原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円 $C$ がある。円 $C$ 上の点 $A$ は $(1, 0)$ である。円 $C$ 上を動く点 $P$ に対して、３点 $O, A, P$ が三角形を作るとき、その三角形の重心を $G$ とする。$G$ の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上に原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円 $C$ がある。円 $C$ 上の点 $A$ は $(1, 0)$ である。円 $C$ 上を動く点 $P$ に対して、３点 $O, A, P$ が三角形を作るとき、その三角形の重心を $G$ とする。$G$ の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(\cos\theta, \sin\theta)$ とおく。

点 $O$ の座標は $(0, 0)$、点 $A$ の座標は $(1, 0)$ である。

三角形 $OAP$ の重心 $G$ の座標を $(x, y)$ とすると、重心の定義より

$$x = \frac{0 + 1 + \cos\theta}{3} = \frac{1 + \cos\theta}{3}$$

$$y = \frac{0 + 0 + \sin\theta}{3} = \frac{\sin\theta}{3}$$

したがって、

$$3x = 1 + \cos\theta$$

$$3y = \sin\theta$$

すなわち、

$$\cos\theta = 3x - 1$$

$$\sin\theta = 3y$$

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ より、

$$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = 1$$

$$9x^2 - 6x + 1 + 9y^2 = 1$$

$$9x^2 - 6x + 9y^2 = 0$$

$$x^2 - \frac{2}{3}x + y^2 = 0$$

$$\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2$$

これは、中心 $\left(\frac{1}{3}, 0\right)$、半径 $\frac{1}{3}$ の円を表す。

点 $O, A, P$ が三角形を作らないとき、点 $P$ は点 $A$ と原点 $O$ を結ぶ直線上にある。点 $P$ が $(1, 0)$ のとき、点 $O, A, P$ は一直線上に並ぶため、三角形を作らない。このとき、$3x-1 = 1$ および $3y = 0$ より $x = 2/3, y = 0$ となる。

点 $P$ が原点 $O(0, 0)$ に近づくとき、これはありえないので、除外する点は存在しない。

したがって、求める軌跡は、中心 $\left(\frac{1}{3}, 0\right)$、半径 $\frac{1}{3}$ の円である。

3. 最終的な答え

$\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{9}$

中心$\left(\frac{1}{3}, 0\right)$、半径$\frac{1}{3}$の円