点$(4, 2)$から円$x^2 + y^2 = 10$に引いた2つの接線の接点を$A$, $B$とする。 (1) 2点$A, B$の座標を求める。 (2) 直線$AB$の方程式を求める。

1. 問題の内容

点$(4, 2)$から円$x^2 + y^2 = 10$に引いた2つの接線の接点を$A$, $B$とする。

(1) 2点$A, B$の座標を求める。

(2) 直線$AB$の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点$A$の座標を$(x_1, y_1)$とする。点$A$は円$x^2 + y^2 = 10$上にあるので、

$x_1^2 + y_1^2 = 10$

また、点$A$における円の接線の方程式は、

$x_1 x + y_1 y = 10$

この接線は点$(4, 2)$を通るので、

$4x_1 + 2y_1 = 10$

$2x_1 + y_1 = 5$

$y_1 = 5 - 2x_1$

これを$x_1^2 + y_1^2 = 10$に代入すると、

$x_1^2 + (5 - 2x_1)^2 = 10$

$x_1^2 + 25 - 20x_1 + 4x_1^2 = 10$

$5x_1^2 - 20x_1 + 15 = 0$

$x_1^2 - 4x_1 + 3 = 0$

$(x_1 - 1)(x_1 - 3) = 0$

$x_1 = 1, 3$

$x_1 = 1$のとき、$y_1 = 5 - 2(1) = 3$

$x_1 = 3$のとき、$y_1 = 5 - 2(3) = -1$

よって、点$A, B$の座標は$(1, 3), (3, -1)$である。

(2) 直線$AB$の方程式は、点$(4, 2)$を通り、円$x^2 + y^2 = 10$に引いた2つの接線の接点を通る直線の方程式である。これは極線の方程式と呼ばれ、$4x + 2y = 10$で与えられる。

$4x + 2y = 10$

$2x + y = 5$

$y = -2x + 5$

3. 最終的な答え

(1) $A(1, 3), B(3, -1)$

(2) $2x + y = 5$