円に内接する四角形ABCDがあり、$AB = \sqrt{2}$, $BC = 4$, $CD = 3\sqrt{2}$, $DA = 2$である。 対角線BDの長さを求め、四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、$AB = \sqrt{2}$, $BC = 4$, $CD = 3\sqrt{2}$, $DA = 2$である。

対角線BDの長さを求め、四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、対角線BDの長さを$x$とおく。

四角形ABCDは円に内接するので、トレミーの定理が使える。

トレミーの定理より、

$AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$

しかし、対角線ACの長さが不明であるため、代わりに余弦定理を利用する。

三角形ABDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

$x^2 = (\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \cos A$

$x^2 = 2 + 4 - 4\sqrt{2}\cos A$

$x^2 = 6 - 4\sqrt{2}\cos A$ (1)

三角形BCDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C$

$x^2 = 4^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos C$

$x^2 = 16 + 18 - 24\sqrt{2}\cos C$

$x^2 = 34 - 24\sqrt{2}\cos C$ (2)

四角形ABCDは円に内接するので、$A + C = 180^\circ$。よって、$\cos C = \cos (180^\circ - A) = -\cos A$

(2)に代入して

$x^2 = 34 + 24\sqrt{2}\cos A$ (3)

(1)と(3)より

$6 - 4\sqrt{2}\cos A = 34 + 24\sqrt{2}\cos A$

$-28 = 28\sqrt{2}\cos A$

$\cos A = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$A = 135^\circ$。

(1)に$\cos A = -\frac{1}{\sqrt{2}}$を代入して

$x^2 = 6 - 4\sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})$

$x^2 = 6 + 4 = 10$

$x = \sqrt{10}$

よって、BDの長さは$\sqrt{10}$である。

次に、四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は、三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の和である。

$S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD}$

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \sin 135^\circ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 6$

$S_{ABCD} = 1 + 6 = 7$

3. 最終的な答え

BDの長さ：$\sqrt{10}$

四角形ABCDの面積：7