ベクトル $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$, $\vec{e_3}$をそれぞれ $x$軸, $y$軸, $z$軸に関する基本ベクトルとし、ベクトル $\vec{a} = (-1, \sqrt{2}, 1)$ と $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$, $\vec{e_3}$のなす角をそれぞれ$\alpha$, $\beta$, $\gamma$とする。 (1) $\cos\alpha$, $\cos\beta$, $\cos\gamma$の値を求めよ。 (2) $\alpha$, $\beta$, $\gamma$を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$, $\vec{e_3}$をそれぞれ $x$軸, $y$軸, $z$軸に関する基本ベクトルとし、ベクトル $\vec{a} = (-1, \sqrt{2}, 1)$ と $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$, $\vec{e_3}$のなす角をそれぞれ$\alpha$, $\beta$, $\gamma$とする。

(1) $\cos\alpha$, $\cos\beta$, $\cos\gamma$の値を求めよ。

(2) $\alpha$, $\beta$, $\gamma$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル$\vec{a}$と$\vec{e_i}$のなす角の余弦は、内積を用いて求められる。

$\vec{e_1} = (1, 0, 0)$, $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$, $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$である。

$\vec{a} \cdot \vec{e_1} = |\vec{a}| |\vec{e_1}| \cos\alpha$

$\vec{a} \cdot \vec{e_2} = |\vec{a}| |\vec{e_2}| \cos\beta$

$\vec{a} \cdot \vec{e_3} = |\vec{a}| |\vec{e_3}| \cos\gamma$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 2 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$|\vec{e_1}| = |\vec{e_2}| = |\vec{e_3}| = 1$

$\vec{a} \cdot \vec{e_1} = (-1)(1) + (\sqrt{2})(0) + (1)(0) = -1$

$\vec{a} \cdot \vec{e_2} = (-1)(0) + (\sqrt{2})(1) + (1)(0) = \sqrt{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{e_3} = (-1)(0) + (\sqrt{2})(0) + (1)(1) = 1$

$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e_1}}{|\vec{a}| |\vec{e_1}|} = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

$\cos\beta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e_2}}{|\vec{a}| |\vec{e_2}|} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\gamma = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e_3}}{|\vec{a}| |\vec{e_3}|} = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

(2)

$\alpha = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ (または $120^\circ$)

$\beta = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$ (または $45^\circ$)

$\gamma = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ (または $60^\circ$)

3. 最終的な答え

(1) $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$, $\cos\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\gamma = \frac{1}{2}$

(2) $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, $\beta = \frac{\pi}{4}$, $\gamma = \frac{\pi}{3}$