$\cos \theta = -\frac{1}{3}$が与えられたとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$とする。

1. 問題の内容

$\cos \theta = -\frac{1}{3}$が与えられたとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$とする。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本公式$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$を利用して$\sin \theta$の値を求めます。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\cos \theta = -\frac{1}{3}$を代入すると、

$\sin^2 \theta = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\sin \theta \ge 0$なので、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$の公式を利用して$\tan \theta$の値を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times (-3) = -2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = -2\sqrt{2}$