3点 O(0, 0, 0), A(1, 2, 1), B(-1, 0, 1) から等距離にある $yz$ 平面上の点 P の座標を求める。

1. 問題の内容

3点 O(0, 0, 0), A(1, 2, 1), B(-1, 0, 1) から等距離にある $yz$ 平面上の点 P の座標を求める。

2. 解き方の手順

$yz$ 平面上の点Pの座標を P(0, y, z) とおく。

点 O, A, B から点 P までの距離が等しいという条件から、y と z の値を求める。

まず、点 O と点 P の距離 $OP$ は、

$OP = \sqrt{(0-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2} = \sqrt{y^2 + z^2}$

次に、点 A と点 P の距離 $AP$ は、

$AP = \sqrt{(0-1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2} = \sqrt{1 + (y-2)^2 + (z-1)^2}$

そして、点 B と点 P の距離 $BP$ は、

$BP = \sqrt{(0-(-1))^2 + (y-0)^2 + (z-1)^2} = \sqrt{1 + y^2 + (z-1)^2}$

条件より、$OP = AP = BP$ であるから、$OP^2 = AP^2 = BP^2$ が成り立つ。

まず、$OP^2 = AP^2$ より、

$y^2 + z^2 = 1 + (y-2)^2 + (z-1)^2$

$y^2 + z^2 = 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 2z + 1$

$0 = -4y - 2z + 6$

$4y + 2z = 6$

$2y + z = 3$ ...(1)

次に、$OP^2 = BP^2$ より、

$y^2 + z^2 = 1 + y^2 + (z-1)^2$

$y^2 + z^2 = 1 + y^2 + z^2 - 2z + 1$

$0 = -2z + 2$

$2z = 2$

$z = 1$ ...(2)

(2)を(1)に代入すると、

$2y + 1 = 3$

$2y = 2$

$y = 1$

したがって、点 P の座標は (0, 1, 1) である。

3. 最終的な答え

P(0, 1, 1)