3辺の長さが $x$, $x+7$, $3x-8$ である三角形が存在するための $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

3辺の長さが $x$, $x+7$, $3x-8$ である三角形が存在するための $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

三角形の成立条件は、「任意の2辺の和が、残りの1辺より大きい」ことです。したがって、以下の3つの不等式が成立する必要があります。

(1) $x + (x+7) > 3x-8$

(2) $x + (3x-8) > x+7$

(3) $(x+7) + (3x-8) > x$

また、三角形の辺の長さは正でなければならないので、$x>0$, $x+7>0$, $3x-8>0$ も満たす必要があります。

まず、$x>0$, $x+7>0$, $3x-8>0$ について考えると、$x>0$, $x>-7$, $x>\frac{8}{3}$ となります。したがって、$x>\frac{8}{3}$ が必要です。

次に、(1) $x + (x+7) > 3x-8$ を解きます。

$2x+7 > 3x-8$

$15 > x$

$x < 15$

(2) $x + (3x-8) > x+7$ を解きます。

$4x-8 > x+7$

$3x > 15$

$x > 5$

(3) $(x+7) + (3x-8) > x$ を解きます。

$4x-1 > x$

$3x > 1$

$x > \frac{1}{3}$

以上の結果から、$x>\frac{8}{3}$, $x<15$, $x>5$, $x>\frac{1}{3}$ をすべて満たす必要があります。

$\frac{8}{3} \approx 2.66$ であるため、$x>5$ かつ $x<15$ が必要です。

したがって、$5 < x < 15$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

$5 < x < 15$