三角形ABCにおいて、$AB=15, BC=12, CA=5$である。角Aの内角の二等分線と直線BCの交点をD、角Aの外角の二等分線と直線BCの交点をEとするとき、$BD$と$CE$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=15, BC=12, CA=5$である。角Aの内角の二等分線と直線BCの交点をD、角Aの外角の二等分線と直線BCの交点をEとするとき、$BD$と$CE$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角Aの内角の二等分線について、角の二等分線の定理を用いると、$BD:DC = AB:AC$が成り立つ。

したがって、$BD:DC = 15:5 = 3:1$となる。

$BC=12$であるから、$BD = \frac{3}{3+1} \times BC = \frac{3}{4} \times 12 = 9$となる。

次に、角Aの外角の二等分線について、角の二等分線の定理を用いると、$BE:CE = AB:AC$が成り立つ。

したがって、$BE:CE = 15:5 = 3:1$となる。

ここで、$BE = BC + CE = 12 + CE$だから、$12+CE:CE=3:1$である。

したがって、$12+CE = 3CE$となり、$2CE = 12$、$CE = 6$となる。

3. 最終的な答え

$BD = 9$

$CE = 6$