図において、BP:PN と CP:PM を求めよ。線分比の情報として、AN:NC = 3:4, AM:MB = 2:1, BQ:QA = 1:3 が与えられている。

1. 問題の内容

図において、BP:PN と CP:PM を求めよ。線分比の情報として、AN:NC = 3:4, AM:MB = 2:1, BQ:QA = 1:3 が与えられている。

2. 解き方の手順

まず、チェバの定理を用いる。

チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがあるとき、3直線AP, BQ, CRが1点で交わるならば

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立つというものである。

この問題では、点Pは三角形ABCの内部の点であり、AP, BQ, CM が一点で交わっている。チェバの定理より、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CN}{NA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{CN}{NA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{CN}{NA} = 1$

$\frac{CN}{NA} = \frac{3}{2}$

メネラウスの定理を用いる。

メネラウスの定理とは、三角形ABCにおいて、辺BC, CA, AB(またはその延長)上にそれぞれ点P, Q, Rがあるとき、これら3点が一直線上にあるならば

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立つというものである。

三角形ABNと直線CMについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BP}{PN} \cdot \frac{NC}{CA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PN} \cdot \frac{4}{7} = 1$

$\frac{8}{7} \cdot \frac{BP}{PN} = 1$

$\frac{BP}{PN} = \frac{7}{8}$

よって、BP:PN = 7:8

三角形BCMと直線ANについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{BQ}{QA} \cdot \frac{AN}{NC} \cdot \frac{CP}{PM} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{CP}{PM} = 1$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{CP}{PM} = 1$

$\frac{CP}{PM} = 4$

よって、CP:PM = 4:1

3. 最終的な答え

BP:PN = 7:8

CP:PM = 4:1