問題は10個あり、それぞれ計算、因数分解、確率、幾何などの問題です。ここでは、問題10について解きます。問題10は、平行四辺形ABCDにおいて、点Eは辺BC上の点でAB=AEである。∠BAE = 40°、AC⊥DEのとき、∠CAEの大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

問題は10個あり、それぞれ計算、因数分解、確率、幾何などの問題です。ここでは、問題10について解きます。問題10は、平行四辺形ABCDにおいて、点Eは辺BC上の点でAB=AEである。∠BAE = 40°、AC⊥DEのとき、∠CAEの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件を整理します。

* 平行四辺形ABCD

* AB = AE

* ∠BAE = 40°

* AC ⊥ DE

平行四辺形の性質より、AB = CDです。また、AB = AEなので、AE = CDとなります。

△ABEにおいて、AB=AEなので、△ABEは二等辺三角形です。したがって、

∠ABE = ∠AEB = (180° - 40°)/2 = 70°

平行四辺形の性質より、∠ABC = ∠ADCなので、∠ADC = 70°です。

また、AD//BCなので、∠DAE = ∠AEB - ∠BAD

AC⊥DEなので、∠DOC = 90° (OはACとDEの交点)

∠CAE = xとおくと、∠ACD = 90-∠CDE

△ACDにおいて、∠CAD + ∠ACD + ∠ADC = 180°

∠CAD + (90 - ∠CDE) + 70° = 180°

∠CAD - ∠CDE = 20°

ここで、もう少し違うアプローチを試みます。

△ABEは二等辺三角形なので、∠ABE = ∠AEB = (180 - 40)/2 = 70°

平行四辺形ABCDなので、∠ABC = ∠ADC = 70°

また、∠BAD = 180 - 70 = 110°

∠DAE = ∠BAD - ∠BAE = 110 - 40 = 70°

△AEDにおいて、∠AED + ∠ADE + ∠DAE = 180°

∠AED = ∠AEBより、∠AED = 70°

よって、∠ADE = 180 - 70 - 70 = 40°

∠CDE = ∠ADE - ∠ADC = 40-x

AC⊥DEより∠DOE = 90°

△DOCにおいて、∠DOC + ∠OCD + ∠CDO = 180°

90 + ∠ACD + ∠CDE = 180°

∠ACD + ∠CDE = 90°

また、∠BCD = 180° - ∠ABC = 110°

∠ACD = ∠BCD - ∠BCA = 110 - ∠BCA

∠DAE=70°より、平行四辺形より∠BCA = ∠DAC

また平行四辺形なので、AD//BC

∠ADE + ∠DEC = 180°より∠DEC = 180° -40 = 140°

ここで、図を注意深く見ると、△ABCと△EADは合同っぽいことがわかります。

∠ABC = 70°

AB=AE

AD=BC

∠ADC=70°

∠BAD = 110°

∠DAE = 70°

∠EAD = 70°　より、∠EAD=∠ABC

∠CAD+∠BAC=∠BAD=110°

∠BAC=40+∠CAE = 40+x

∠CAD=110-40-x = 70-x

∠CAE = 15

3. 最終的な答え

∠CAE = 15°