2点 $A(4, 0, 5)$ と $B(0, 2, 1)$ を通る直線上の点のうち、原点 $O$ との距離が最小となる点を $P$ とします。 (1) 直線 $AB$ と直線 $OP$ の間に成り立つ関係を予想してください。 (2) 点 $P$ の座標を求めてください。また、(1)で予想した関係が成り立つことを示してください。

はい、承知いたしました。問題5に取り組みます。

1. 問題の内容

2点 $A(4, 0, 5)$ と $B(0, 2, 1)$ を通る直線上の点のうち、原点 $O$ との距離が最小となる点を $P$ とします。

(1) 直線 $AB$ と直線 $OP$ の間に成り立つ関係を予想してください。

(2) 点 $P$ の座標を求めてください。また、(1)で予想した関係が成り立つことを示してください。

2. 解き方の手順

(1) 予想:

点 $P$ が原点 $O$ から直線 $AB$ への垂線の足であるとき、距離 $OP$ は最小になります。したがって、直線 $AB$ と直線 $OP$ は直交すると予想されます。

(2) 点 $P$ の座標の計算と検証:

直線 $AB$ 上の点をパラメータ $t$ を用いて表します。

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}$

$\vec{OP} = (1-t)(4, 0, 5) + t(0, 2, 1) = (4-4t, 2t, 5-4t)$

$\vec{OP} = (4-4t, 2t, 5-4t)$と$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (0, 2, 1) - (4, 0, 5) = (-4, 2, -4)$が直交するとき、内積は0になります。

$\vec{OP} \cdot \vec{AB} = (4-4t)(-4) + (2t)(2) + (5-4t)(-4) = 0$

$-16 + 16t + 4t - 20 + 16t = 0$

$36t = 36$

$t = 1$

したがって、$\vec{OP} = (4-4(1), 2(1), 5-4(1)) = (0, 2, 1)$

点 $P$ の座標は $(0, 2, 1)$ です。

次に、直線 $OP$ と直線 $AB$ が直交することを確認します。

$\vec{OP} = (0, 2, 1)$

$\vec{AB} = (-4, 2, -4)$

$\vec{OP} \cdot \vec{AB} = (0)(-4) + (2)(2) + (1)(-4) = 0 + 4 - 4 = 0$

したがって、$\vec{OP}$ と $\vec{AB}$ は直交します。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $AB$ と直線 $OP$ は直交する。

(2) 点 $P$ の座標は $(0, 2, 1)$ であり、直線 $AB$ と直線 $OP$ は直交する。