円に内接する四角形ABCDにおいて、直線ABと直線CDの交点をP、直線ADと直線BCの交点をQとする。$\angle APD = 48^\circ$、$\angle CQD = 58^\circ$のとき、$\angle ABC$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、直線ABと直線CDの交点をP、直線ADと直線BCの交点をQとする。$\angle APD = 48^\circ$、$\angle CQD = 58^\circ$のとき、$\angle ABC$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle APD$について考えます。$\angle APD = 48^\circ$であることから、$\angle ADC + \angle DAB = 180^\circ - \angle APD = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$となります。

次に、四角形ABCDが円に内接することから、$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$が成り立ちます。

また、$\triangle CQD$において、$\angle CQD = 58^\circ$なので、$\angle QDC + \angle QCD = 180^\circ - \angle CQD = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$です。

ここで、$\angle QDC = \angle ADC$であり、$\angle QCD = \angle BCD$であることに注意します。

さらに、$\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$が円に内接する四角形の性質から成り立ちます。

$\angle BAD = \angle BAQ = \angle DAB$です。

$\triangle ABQ$において、$\angle BAQ + \angle ABQ + \angle AQB = 180^\circ$が成り立ちます。

$\angle AQB = \angle CQD = 58^\circ$であるから、$\angle BAQ + \angle ABQ = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$です。

$\angle ABC = \angle ABQ$なので、$\angle DAB + \angle ABC = 122^\circ$です。

$\angle ADC + \angle DAB = 132^\circ$と$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$から$\angle ABC = 180^\circ - \angle ADC$です。

$\angle DAB = 132^\circ - \angle ADC$を$\angle DAB + \angle ABC = 122^\circ$に代入すると、

$132^\circ - \angle ADC + \angle ABC = 122^\circ$

$132^\circ - \angle ADC + 180^\circ - \angle ADC = 122^\circ$

$312^\circ - 2\angle ADC = 122^\circ$

$2\angle ADC = 190^\circ$

$\angle ADC = 95^\circ$

よって、$\angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle ABC = 85^\circ$