一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHにおいて、辺BF上に点Pを、辺GH上に点Qをとる。 (1) 内積 $\vec{BP} \cdot \vec{HQ}$ を求める。 (2) 内積 $\vec{AP} \cdot \vec{AQ}$ を、$|\vec{BP}|$、$|\vec{HQ}|$を用いて表す。 (3) 内積 $\vec{AP} \cdot \vec{AQ}$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHにおいて、辺BF上に点Pを、辺GH上に点Qをとる。

(1) 内積 $\vec{BP} \cdot \vec{HQ}$ を求める。

(2) 内積 $\vec{AP} \cdot \vec{AQ}$ を、$|\vec{BP}|$、$|\vec{HQ}|$を用いて表す。

(3) 内積 $\vec{AP} \cdot \vec{AQ}$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{BP}$ と $\vec{HQ}$ は垂直なベクトルであるため、内積は0になる。

$\vec{BP} \cdot \vec{HQ} = 0$

(2)

$\vec{AB}=\vec{b}, \vec{AD}=\vec{d}, \vec{AE}=\vec{e}$とおく。

$|\vec{b}|=|\vec{d}|=|\vec{e}|=2$

$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP} = \vec{b} + \vec{BP}$

$\vec{AQ} = \vec{AD} + \vec{DH} + \vec{HQ} = \vec{d} + \vec{e} + \vec{HQ}$

$\vec{AP} \cdot \vec{AQ} = (\vec{b} + \vec{BP}) \cdot (\vec{d} + \vec{e} + \vec{HQ})$

$= \vec{b} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{e} + \vec{b} \cdot \vec{HQ} + \vec{BP} \cdot \vec{d} + \vec{BP} \cdot \vec{e} + \vec{BP} \cdot \vec{HQ}$

$\vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{e} = \vec{b} \cdot \vec{HQ} = \vec{BP} \cdot \vec{d} = 0$

$\vec{BP} \cdot \vec{e} = |\vec{BP}||\vec{e}|\cos 0 = 2|\vec{BP}|$

$\vec{BP} \cdot \vec{HQ} = 0$

$\vec{AP} \cdot \vec{AQ} = 2|\vec{BP}|$

(3)

$|\vec{BP}|=x, |\vec{HQ}|=y$とおく。

$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP} = \vec{b} + x\frac{\vec{e}}{2}$

$\vec{AQ} = \vec{AD} + \vec{DH} + \vec{HQ} = \vec{d} + \vec{e} + y\frac{-\vec{b}}{2}$

$\vec{AP}\cdot\vec{AQ}=(\vec{b} + x\frac{\vec{e}}{2})\cdot(\vec{d} + \vec{e} + y\frac{-\vec{b}}{2})$

$=\vec{b}\cdot\vec{d}+\vec{b}\cdot\vec{e}-\frac{y}{2}|\vec{b}|^2 + x\frac{\vec{e}}{2}\cdot\vec{d}+x\frac{\vec{e}}{2}\cdot\vec{e} + \frac{-xy}{4}\vec{e}\cdot\vec{b}$

$=0+0-\frac{y}{2}(4)+0+x\frac{1}{2}(4)+0$

$=-2y+2x=2(x-y)$

$\vec{AA} = \vec{0}$

$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP}$

$\vec{AQ} = \vec{AD} + \vec{DH} + \vec{HQ}$

$\vec{AP} \cdot \vec{AQ} = |\vec{AP}| |\vec{AQ}| \cos \theta$

$\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP}$

$\vec{OQ} = \vec{OA} + \vec{AQ}$

$\vec{AP} \cdot \vec{AQ}$の最大値を求めるためには、$|\vec{AP}|$と$|\vec{AQ}|$をできるだけ大きくし、$\cos \theta$を1に近づける必要がある。

$x = |\vec{BP}|$, $y = |\vec{HQ}|$とする。

$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP}$, $\vec{AQ} = \vec{AD} + \vec{DH} + \vec{HQ}$

$\vec{AP}\cdot \vec{AQ}= 2x-2y$

ここで、$0 \le x \le 2$、$0 \le y \le 2$である。

$x$を最大値2、$y$を最小値0とすると、最大値$2(2-0) = 4$となる。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $2|\vec{BP}|$

(3) 4