四面体OABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD, 線分CDを4:1に内分する点をE、線分OEの中点をF, 直線CFが平面OABと交わる点をGとするとき、$\overrightarrow{OG} = \frac{5}{67}\overrightarrow{OA} + \frac{8}{910}\overrightarrow{OB}$　となる。空欄を埋めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD, 線分CDを4:1に内分する点をE、線分OEの中点をF, 直線CFが平面OABと交わる点をGとするとき、$\overrightarrow{OG} = \frac{5}{67}\overrightarrow{OA} + \frac{8}{910}\overrightarrow{OB}$　となる。空欄を埋めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から、それぞれの点をベクトルの式で表します。

点Dは辺ABを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{1\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{2+1} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

点Eは線分CDを4:1に内分するので、

$\overrightarrow{OE} = \frac{1\overrightarrow{OC} + 4\overrightarrow{OD}}{4+1} = \frac{1}{5}\overrightarrow{OC} + \frac{4}{5}\overrightarrow{OD}$

$\overrightarrow{OD}$に先ほどの式を代入すると

$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{5}\overrightarrow{OC} + \frac{4}{5}(\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}) = \frac{4}{15}\overrightarrow{OA} + \frac{8}{15}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{OC}$

点Fは線分OEの中点なので、

$\overrightarrow{OF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}(\frac{4}{15}\overrightarrow{OA} + \frac{8}{15}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{OC}) = \frac{2}{15}\overrightarrow{OA} + \frac{4}{15}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{10}\overrightarrow{OC}$

点Gは直線CF上にあるので、実数kを用いて

$\overrightarrow{OG} = (1-k)\overrightarrow{OC} + k\overrightarrow{OF} = (1-k)\overrightarrow{OC} + k(\frac{2}{15}\overrightarrow{OA} + \frac{4}{15}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{10}\overrightarrow{OC})$

$\overrightarrow{OG} = \frac{2k}{15}\overrightarrow{OA} + \frac{4k}{15}\overrightarrow{OB} + (1-k+\frac{k}{10})\overrightarrow{OC} = \frac{2k}{15}\overrightarrow{OA} + \frac{4k}{15}\overrightarrow{OB} + (1-\frac{9k}{10})\overrightarrow{OC}$

点Gは平面OAB上にあるので、$\overrightarrow{OC}$の係数は0である。

$1 - \frac{9k}{10} = 0$

$\frac{9k}{10} = 1$

$k = \frac{10}{9}$

これを$\overrightarrow{OG}$の式に代入すると、

$\overrightarrow{OG} = \frac{2(\frac{10}{9})}{15}\overrightarrow{OA} + \frac{4(\frac{10}{9})}{15}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OG} = \frac{20}{135}\overrightarrow{OA} + \frac{40}{135}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OG} = \frac{4}{27}\overrightarrow{OA} + \frac{8}{27}\overrightarrow{OB}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OG} = \frac{4}{27}\overrightarrow{OA} + \frac{8}{27}\overrightarrow{OB}$

したがって、空欄は

5 = 4, 67 = 27

8 = 8, 910 = 27