2点 $A(4, 0, 5)$ と $B(0, 2, 1)$ を通る直線上の点のうち、原点Oとの距離が最小となる点をPとする。 (1) 直線ABと直線OPの間に成り立つ関係を予想せよ。 (2) 点Pの座標を求めよ。また、(1)で予想した関係が成り立つことを示せ。

はい、承知いたしました。数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

2点 $A(4, 0, 5)$ と $B(0, 2, 1)$ を通る直線上の点のうち、原点Oとの距離が最小となる点をPとする。

(1) 直線ABと直線OPの間に成り立つ関係を予想せよ。

(2) 点Pの座標を求めよ。また、(1)で予想した関係が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

原点Oから直線ABに下ろした垂線の足が点Pとなることが予想される。

したがって、直線ABと直線OPは垂直であると予想する。

(2)

直線AB上の点をパラメータ表示する。

$\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b} = (1-t)(4, 0, 5) + t(0, 2, 1) = (4-4t, 2t, 5-4t)$

$\vec{OP} = \vec{p} = (4-4t, 2t, 5-4t)$

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (0, 2, 1) - (4, 0, 5) = (-4, 2, -4)$

$\vec{OP} \perp \vec{AB}$ より、内積 $\vec{OP} \cdot \vec{AB} = 0$ である。

$(4-4t, 2t, 5-4t) \cdot (-4, 2, -4) = 0$

$-16 + 16t + 4t - 20 + 16t = 0$

$36t - 36 = 0$

$t = 1$

しかし、この結果は点Pが点Bと一致することを意味し、必ずしも直線ABとOPが垂直にならないので、tの値が間違っている可能性がある。

計算を確認する：

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (0 - 4, 2 - 0, 1 - 5) = (-4, 2, -4)$

$\vec{OP} = (4 - 4t, 2t, 5 - 4t)$

$\vec{OP} \cdot \vec{AB} = (4 - 4t)(-4) + (2t)(2) + (5 - 4t)(-4) = 0$

$-16 + 16t + 4t - 20 + 16t = 0$

$36t - 36 = 0$

$36t = 36$

$t = 1$

問題文の点A, Bの座標が正しいか確認する。もし座標が間違っている場合、解は変わる可能性がある。問題文の座標が正しいと仮定して続行する。

計算ミスが見つかりました。

$t = 1$は点Bの座標に対応します。点Pは、原点からの距離が最小となる点であるため、点Bと一致するとは限りません。

内積計算で、もう一度注意深く計算し直します。

$(4-4t, 2t, 5-4t) \cdot (-4, 2, -4) = 0$

$(4-4t)(-4) + (2t)(2) + (5-4t)(-4) = 0$

$-16 + 16t + 4t - 20 + 16t = 0$

$36t = 36$

$t = 1$

座標は正しいとします。

原点Oから直線ABへの垂線の足がPである。したがって、$\vec{OP} \perp \vec{AB}$

$\vec{OP} = (4-4t, 2t, 5-4t)$

$\vec{AB} = (-4, 2, -4)$

$\vec{OP} \cdot \vec{AB} = (4-4t)(-4) + (2t)(2) + (5-4t)(-4) = -16 + 16t + 4t - 20 + 16t = 36t - 36 = 0$

$t = 1$

点Pの座標は $(4-4(1), 2(1), 5-4(1)) = (0, 2, 1)$ となり、点Bと一致する。

直線AB上の点をパラメータ表示する別の方法を試します。

$\vec{AP} = k \vec{AB}$

$\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP} = \vec{OA} + k \vec{AB}$

$\vec{OP} = (4, 0, 5) + k (-4, 2, -4) = (4 - 4k, 2k, 5 - 4k)$

$\vec{OP} \perp \vec{AB}$

$(4 - 4k, 2k, 5 - 4k) \cdot (-4, 2, -4) = -16 + 16k + 4k - 20 + 16k = 36k - 36 = 0$

$k = 1$

点Pの座標は $(4 - 4(1), 2(1), 5 - 4(1)) = (0, 2, 1)$

点Pの座標が点Bと一致する場合、これは、原点から直線ABへの垂線の足が点Bであることを意味する。

直線ABと直線OPが垂直であるという関係が成り立つことを確認する。

$\vec{OB} = (0, 2, 1)$

$\vec{AB} = (-4, 2, -4)$

$\vec{OB} \cdot \vec{AB} = (0)(-4) + (2)(2) + (1)(-4) = 0 + 4 - 4 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 直線ABと直線OPは垂直である。

(2) 点Pの座標は (0, 2, 1) である。

$\vec{OP} \cdot \vec{AB} = 0$ であるため、直線ABと直線OPは垂直である。