直方体において、三角形ABCの重心をGとし、辺OCの中点をMとするとき、点Gが線分DM上にあって、DMを2:1に内分することを証明する。

1. 問題の内容

直方体において、三角形ABCの重心をGとし、辺OCの中点をMとするとき、点Gが線分DM上にあって、DMを2:1に内分することを証明する。

2. 解き方の手順

座標を設定してベクトルで考えます。

Oを原点とし、$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OC} = \vec{c}$とします。

点A, B, C, M, D, G の位置ベクトルはそれぞれ以下のようになります。

* A: $\vec{a}$

* B: $\vec{b}$

* C: $\vec{c}$

* M: $\frac{1}{2}\vec{c}$

* D: $\vec{a} + \vec{b}$

* G: $\frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ (三角形ABCの重心)

線分DM上の点であるためには、実数$k$を用いて

$\vec{OG} = (1-k)\vec{OD} + k\vec{OM}$

と表せる必要があります。

$\vec{OG} = (1-k)(\vec{a}+\vec{b}) + k(\frac{1}{2}\vec{c}) = (1-k)\vec{a} + (1-k)\vec{b} + \frac{k}{2}\vec{c}$

重心Gの位置ベクトル $\vec{OG}$ は $\frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ であるので、

$\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} = (1-k)\vec{a} + (1-k)\vec{b} + \frac{k}{2}\vec{c}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は一次独立なので、各ベクトルの係数を比較すると、

$1-k = \frac{1}{3}$

$\frac{k}{2} = \frac{1}{3}$

これらを解くと、$k = \frac{2}{3}$ となります。

したがって、$\vec{OG} = \frac{1}{3}\vec{OD} + \frac{2}{3}\vec{OM}$となります。これは、点Gが線分DM上にあって、DMを2:1に内分することを示しています。

3. 最終的な答え

点Gは線分DM上にあり、DMを2:1に内分する。