3点 $O(0,0,0)$, $A(-1,-2,1)$, $B(2,2,0)$ を頂点とする $\triangle OAB$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\angle AOB$ の大きさを求めよ。 (2) $\triangle OAB$ の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

3点 $O(0,0,0)$, $A(-1,-2,1)$, $B(2,2,0)$ を頂点とする $\triangle OAB$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\angle AOB$ の大きさを求めよ。

(2) $\triangle OAB$ の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\angle AOB$ の大きさを求める。

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{OB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ である。

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}| \cos \angle AOB$ より、

$\cos \angle AOB = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}||\vec{OB}|}$ である。

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = (-1)(2) + (-2)(2) + (1)(0) = -2 - 4 + 0 = -6$

$|\vec{OA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$

$|\vec{OB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4+4+0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos \angle AOB = \frac{-6}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-6}{2\sqrt{12}} = \frac{-3}{\sqrt{12}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\angle AOB = \frac{5}{6} \pi$

(2) $\triangle OAB$ の面積 $S$ を求める。

$S = \frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin \angle AOB$

$\sin \angle AOB = \sin (\frac{5}{6}\pi) = \frac{1}{2}$

$S = \frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{12} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$

別の解法として、ベクトルを用いて計算する。

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{OB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{pmatrix} (-2)(0) - (1)(2) \\ (1)(2) - (-1)(0) \\ (-1)(2) - (-2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$S = \frac{1}{2}|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle AOB = \frac{5}{6} \pi$

(2) $S = \sqrt{3}$