正四面体の4つの面に、赤、青、黄、緑の4色をそれぞれ1面ずつ塗るとき、異なる塗り方は何通りあるか求める問題です。

1. 問題の内容

正四面体の4つの面に、赤、青、黄、緑の4色をそれぞれ1面ずつ塗るとき、異なる塗り方は何通りあるか求める問題です。

2. 解き方の手順

正四面体の塗り分け問題は、回転させて同じになるものを同一視します。

まず、底面の色を固定します。4色のうちどれを底面にしても同じなので、底面の色は1通りとします。

次に、残りの3つの側面の色を考えます。

底面を固定した状態で、側面を円順列で考えると、側面の塗り方は $(3-1)!$ 通りになります。

したがって、異なる塗り方の総数は、

$1 \times (3-1)! = 1 \times 2! = 1 \times 2 = 2$ 通りとなります。

ただし、4色すべてを使う場合は、底面の固定という考え方ではなく、まず4色の中から1色を選んで底面に塗り、残りの3色を側面に塗るという考え方をする必要があります。

しかし、正四面体をひっくり返しても同じ塗り方になるものがあるので、割る必要があります。

正四面体の回転対称性は、$12$ 個あるため、$4!/12$を計算します。

しかし、$4!/12 = 24/12 = 2$ となり、同じ答えになることが分かります。

3. 最終的な答え

2通り