線分上に点A, B, C, Dがあるとき、$AC:CD = 3:2$ と $AB:BD = 4:5$ が与えられています。このとき、$AB:CD$を最も簡単な整数比で表す問題です。

1. 問題の内容

線分上に点A, B, C, Dがあるとき、$AC:CD = 3:2$ と $AB:BD = 4:5$ が与えられています。このとき、$AB:CD$を最も簡単な整数比で表す問題です。

2. 解き方の手順

線分AD上にある点A, B, C, Dの位置関係は問題文からは明確ではありません。しかし、長さの比の関係から、A, B, C, Dはこの順番で並んでいると解釈します。

まず、$AC:CD = 3:2$ より、$AD = AC + CD$ なので、$AD$を$AC$で表すと、

$AD = AC + \frac{2}{3}AC = \frac{5}{3}AC$

$AC = \frac{3}{5}AD$

$CD = \frac{2}{5}AD$

次に、$AB:BD = 4:5$ より、$AD = AB + BD$ なので、$AD$を$AB$で表すと、

$AD = AB + \frac{5}{4}AB = \frac{9}{4}AB$

$AB = \frac{4}{9}AD$

$BD = \frac{5}{9}AD$

したがって、$AB:CD$は、

$AB:CD = \frac{4}{9}AD : \frac{2}{5}AD = \frac{4}{9} : \frac{2}{5}$

比を簡単にするために、両辺に$45$を掛けると、

$AB:CD = \frac{4}{9} \times 45 : \frac{2}{5} \times 45 = 4 \times 5 : 2 \times 9 = 20 : 18 = 10:9$

3. 最終的な答え

$AB:CD = 10:9$