$\alpha > 0^\circ$, $\beta > 0^\circ$, $\alpha + \beta < 180^\circ$ かつ $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin^2 (\alpha + \beta)$ を満たすとき、$\sin \alpha + \sin \beta$ の取りうる範囲を求める。

1. 問題の内容

$\alpha > 0^\circ$, $\beta > 0^\circ$, $\alpha + \beta < 180^\circ$ かつ $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin^2 (\alpha + \beta)$ を満たすとき、$\sin \alpha + \sin \beta$ の取りうる範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた条件から、$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin^2 (\alpha + \beta)$ が成り立つ。

この式を変形していく。

$\sin^2 (\alpha + \beta) = (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha \cos^2 \beta + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta$

したがって、

$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin^2 \alpha \cos^2 \beta + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta$

$\sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \beta) + \sin^2 \beta (1 - \cos^2 \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta$

$\sin^2 \alpha \sin^2 \beta + \sin^2 \beta \sin^2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta$

$2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta = 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta$

$\sin \alpha \sin \beta (\sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta) = 0$

$\sin \alpha \sin \beta (-\cos (\alpha + \beta)) = 0$

$\sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) = 0$

$\alpha > 0^\circ, \beta > 0^\circ$ より $\sin \alpha > 0, \sin \beta > 0$ であるから、$\cos (\alpha + \beta) = 0$ となる。

$\alpha + \beta < 180^\circ$ であるから、$\alpha + \beta = 90^\circ$。

$\sin \alpha + \sin \beta = \sin \alpha + \sin (90^\circ - \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \sin (\alpha + 45^\circ)$

$\alpha > 0^\circ, \beta > 0^\circ$ より $0 < \alpha < 90^\circ$ であるから、$45^\circ < \alpha + 45^\circ < 135^\circ$。

$\sin (\alpha + 45^\circ)$ の範囲は $\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin (\alpha + 45^\circ) \le 1$。

したがって、$\sin \alpha + \sin \beta$ の範囲は $1 < \sin \alpha + \sin \beta \le \sqrt{2}$。

$\alpha$または$\beta$が0に限りなく近いとき、$\sin\alpha+\sin\beta$は1に限りなく近づくので、1は範囲に含まれない。

$\alpha = \beta = 45^\circ$ のとき、$\sin \alpha + \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

$1 < \sin \alpha + \sin \beta \le \sqrt{2}$