与えられた画像には複数の問題が含まれていますが、ここでは問題1の④、すなわち正六角形ABCDEFにおいて、CDの中点をQ、BCの中点をRとするとき、$ \vec{AB} = \vec{a} $、$ \vec{AF} = \vec{b} $として、$ \vec{RQ} $を$ \vec{a} $と$ \vec{b} $を用いて表す問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた画像には複数の問題が含まれていますが、ここでは問題1の④、すなわち正六角形ABCDEFにおいて、CDの中点をQ、BCの中点をRとするとき、$\vec{AB} = \vec{a}$、$\vec{AF} = \vec{b}$として、$\vec{RQ}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す問題を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{RQ}$を他のベクトルを用いて表します。

$\vec{RQ} = \vec{RC} + \vec{CQ}$

次に、$\vec{RC}$と$\vec{CQ}$をそれぞれ$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表します。

$\vec{RC} = \frac{1}{2} \vec{BC}$

$\vec{CQ} = \frac{1}{2} \vec{DC}$

$\vec{BC}$と$\vec{DC}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表します。

$\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AF} + \vec{FE} + \vec{EC} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} = 2\vec{b}$

$\vec{DC} = -\vec{AB} = -\vec{a}$

したがって、

$\vec{RC} = \frac{1}{2}(2\vec{b}) = \vec{b}$

$\vec{CQ} = \frac{1}{2}(-\vec{a}) = -\frac{1}{2}\vec{a}$

これらを$\vec{RQ}$の式に代入します。

$\vec{RQ} = \vec{RC} + \vec{CQ} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{RQ} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$