直線 $l: y = 2x - 3$ と点 $A(0, 2)$ が与えられている。直線 $l$ に関して点 $A$ と対称な点 $P$ の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2x - 3$ と点 $A(0, 2)$ が与えられている。直線 $l$ に関して点 $A$ と対称な点 $P$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおく。

(2) 線分 $AP$ の中点 $M$ は直線 $l$ 上にある。

$M$ の座標は $\left(\frac{x+0}{2}, \frac{y+2}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y+2}{2}\right)$。

$M$ が直線 $l$ 上にあるので、$y = 2x - 3$ に代入すると、

$\frac{y+2}{2} = 2\left(\frac{x}{2}\right) - 3$

$y + 2 = 2x - 6$

$y = 2x - 8$ ...(1)

(3) 直線 $AP$ は直線 $l$ と垂直である。

直線 $l$ の傾きは $2$ なので、直線 $AP$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ となる。

直線 $AP$ の傾きは $\frac{y-2}{x-0} = \frac{y-2}{x}$ である。

よって、$\frac{y-2}{x} = -\frac{1}{2}$

$2(y - 2) = -x$

$2y - 4 = -x$

$x = -2y + 4$ ...(2)

(4) (1) と (2) を連立させて $x, y$ を求める。

(2)を(1)に代入する。

$y = 2(-2y + 4) - 8$

$y = -4y + 8 - 8$

$5y = 0$

$y = 0$

$x = -2(0) + 4 = 4$

したがって、点 $P$ の座標は $(4, 0)$ である。

3. 最終的な答え

点Pの座標は $(4, 0)$