一辺の長さが1の正四面体の体積を求めます。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

正四面体の体積を求めるには、まず底面積と高さを求める必要があります。

- 底面は正三角形なので、面積は $( \sqrt{3} / 4 ) a^2$ で求められます。ここで、$a$ は一辺の長さです。

- 高さを求めるには、正四面体の一つの頂点から底面に下ろした垂線の足を考えます。この垂線の足は底面の正三角形の重心に一致します。正三角形の重心は、中線を $2:1$ に内分する点です。

- 一つの頂点、重心、正三角形の一つの頂点を結ぶ直角三角形を考え、三平方の定理を利用して高さを求めます。

一辺の長さが$a=1$の正四面体を考えます。

底面積は、

$\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$

正三角形の重心から頂点までの距離は、正三角形の高さ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ の $\frac{2}{3}$ 倍なので、

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

正四面体の高さを$h$とすると、三平方の定理より、

$h^2 + ( \frac{\sqrt{3}}{3} )^2 = 1^2$

$h^2 + \frac{3}{9} = 1$

$h^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$h = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

体積$V$は、

$V = \frac{1}{3} \cdot \text{底面積} \cdot \text{高さ}$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{18}}{36} = \frac{3\sqrt{2}}{36} = \frac{\sqrt{2}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{12}$