円 $C: x^2 + y^2 - 2mx - 2m - 2 = 0$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 円 $C$ が $m$ の値によらず通る2定点を求める。 (2) 円 $C$ の半径が最小になるときの $m$ の値、円 $C$ の中心の座標、半径を求める。 (3) 直線 $y = x$ が円 $C$ に接するときの $m$ の値と接点の座標、および、そのときの円 $C$ と2直線 $y = x$, $y = -x$ で囲まれる部分の面積を求める。

## 解答

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 - 2mx - 2m - 2 = 0$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 円 $C$ が $m$ の値によらず通る2定点を求める。

(2) 円 $C$ の半径が最小になるときの $m$ の値、円 $C$ の中心の座標、半径を求める。

(3) 直線 $y = x$ が円 $C$ に接するときの $m$ の値と接点の座標、および、そのときの円 $C$ と2直線 $y = x$, $y = -x$ で囲まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $m$ について整理すると、

$x^2 + y^2 - 2 = m(2x+2)$

$m$ の値によらずこの式が成り立つのは、

$x^2 + y^2 - 2 = 0$ かつ $2x + 2 = 0$ のとき。

$x = -1$ を $x^2 + y^2 - 2 = 0$ に代入すると、

$1 + y^2 - 2 = 0$ より $y^2 = 1$。

したがって、$y = \pm 1$。

よって、円 $C$ は $m$ の値によらず2点 $(-1, 1)$ と $(-1, -1)$ を通る。

(2) 円 $C$ の方程式を平方完成すると、

$(x - m)^2 + y^2 = m^2 + 2m + 2 = (m+1)^2+1$

円 $C$ の中心の座標は $(m, 0)$ であり、半径は $\sqrt{(m+1)^2 + 1}$。

半径が最小になるのは $m = -1$ のときで、その最小値は $1$。

したがって、このときの円 $C$ の中心の座標は $(-1, 0)$ であり、半径は $1$。

(3) 直線 $y = x$ が円 $C$ に接するとき、円の中心 $(m, 0)$ と直線 $y = x$, すなわち $x - y = 0$ との距離が半径 $\sqrt{m^2 + 2m + 2}$ に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m - 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{2}} = \sqrt{m^2 + 2m + 2}$

両辺を2乗して整理すると、

$\frac{m^2}{2} = m^2 + 2m + 2$

$m^2 + 4m + 4 = 0$

$(m + 2)^2 = 0$

$m = -2$

このとき、円 $C$ の方程式は

$(x+2)^2 + y^2 = (-2)^2 + 2(-2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

円 $C$ の中心は $(-2, 0)$ であり、半径は $\sqrt{2}$。

接点では、中心 $(-2, 0)$ を通り直線 $y=x$ に垂直な直線 $y = -x - 2$ と $y = x$ との交点である。

$y = -x-2$ と $y = x$ を連立すると、

$x = -x-2$

$2x = -2$

$x = -1$

$y = -1$

よって、接点の座標は $(-1, -1)$。

円 $C$ と2直線 $y = x$, $y = -x$ で囲まれる部分の面積は、扇形の面積から三角形の面積を引いたもの。

扇形の中心角は $\frac{3}{4} \pi$ なので面積は $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{3}{2}\pi = \frac{3}{4}\pi$.

三角形の面積は $\frac{1}{2} \cdot r\cos{\theta} \cdot r\sin{\theta}= 1$.

したがって、求める面積は $\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) アイ: -1, ウエ: 1, オカ: -1, キ: -1

(2) クケ: -1, コサ: -1, シ: 0, ス: 1

(3) セソ: -2, タチ: -1, ツテ: -1, ト: 3, ナ: 4