直線 $y = x + 2$ が円 $x^2 + y^2 = 5$ によって切り取られる弦の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y = x + 2$ が円 $x^2 + y^2 = 5$ によって切り取られる弦の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線と円の交点を求めます。

$y = x + 2$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入すると、

$x^2 + (x + 2)^2 = 5$

$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 5$

$2x^2 + 4x - 1 = 0$

この2次方程式を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4}$

$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{4}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$

よって、交点の $x$ 座標は $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}$ と $x_2 = \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}$ です。

それぞれの $y$ 座標を求めます。

$y_1 = x_1 + 2 = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2} + 2 = \frac{-2 + \sqrt{6} + 4}{2} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$

$y_2 = x_2 + 2 = \frac{-2 - \sqrt{6}}{2} + 2 = \frac{-2 - \sqrt{6} + 4}{2} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$

交点は $(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}, \frac{2 + \sqrt{6}}{2})$ と $(\frac{-2 - \sqrt{6}}{2}, \frac{2 - \sqrt{6}}{2})$ です。

この2点間の距離を計算します。

弦の長さ $L$ は、

$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$L = \sqrt{(\frac{-2 - \sqrt{6}}{2} - \frac{-2 + \sqrt{6}}{2})^2 + (\frac{2 - \sqrt{6}}{2} - \frac{2 + \sqrt{6}}{2})^2}$

$L = \sqrt{(\frac{-2\sqrt{6}}{2})^2 + (\frac{-2\sqrt{6}}{2})^2}$

$L = \sqrt{(-\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{6})^2}$

$L = \sqrt{6 + 6}$

$L = \sqrt{12}$

$L = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3}$